Ακέραιες λύσεις

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 212
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Ακέραιες λύσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Τετ Αύγ 29, 2018 3:28 pm

Να βρεθουν οι ακέραιοι a,b που να επαληθεύουν το εξής

\sqrt{a^{2}+2^{a}-2}=b



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 296
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Ακέραιες λύσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τετ Αύγ 29, 2018 3:43 pm

Με mod4 "τετριμμενοποιείται"...


Κω.Κωνσταντινίδης
Δημοσιεύσεις: 37
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm

Re: Ακέραιες λύσεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης » Τετ Αύγ 29, 2018 4:28 pm

Η εξίσωση γίνεται 2^{\alpha }-2=(\beta -\alpha )(\alpha +\beta )

Αν \alpha < 0 τότε το αριστερό μέλος είναι δεκαδικό ενώ το δεξί όχι, άτοπο.
Για \alpha =0 τότε επιλύοντάς την προκύπτει ότι\beta ^{2}=-1 άτοπο.
Για\alpha =1 προκύπτει \beta =+-1
Για \alpha \geq 2 τότε2(2^{\alpha -1}-1)=(\beta -\alpha )(\beta +\alpha ). Άρα αφού το Α μέλος είναι άρτιος, θα είναι και το Β μέλος άρτιο. Αυτό όμως γίνεται για \alpha ,\beta άρτιους ή α,β περιττούς.


Έστω \alpha =2\kappa και \beta =2\lambda, τότε 2^{2\kappa -1}-1=2(\lambda -\kappa )(\lambda +\kappa ). Αφού του β μέλος είναι άρτιο θα είναι και το α άρτιο, άρα \kappa =\frac{1}{2} άτοπο, αφού κ,λ ακέραιοι.
Όμοια και για α,β περιττούς βρίσκουμε\kappa =0 άρα\alpha =1,\beta =+-1
Συνεπώς μοναδικά ζεύγη είναι τα (\alpha ,\beta )=(1,1),(1,-1)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης