Εκθετική Διοφαντική

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Κω.Κωνσταντινίδης
Δημοσιεύσεις: 29
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm

Εκθετική Διοφαντική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης » Τετ Αύγ 29, 2018 10:14 am

Να λυθεί στους ακέραιους η εξίσωση
20^{\chi }+13^{\psi }=2013^{\zeta }



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 790
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Εκθετική Διοφαντική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Αύγ 29, 2018 11:03 am

Παίρνοντας \pmod{3} παρατηρούμε πως πρέπει 20^x+13^y\equiv 0\pmod{3}\Leftrightarrow 20^x+1\equiv 0\pmod{3}\Leftrightarrow 20^x\equiv -1\pmod{3}.

Συμπεραίνουμε λοιπόν πως ο x είναι περιττός αριθμός.

Παίρνοντας \pmod{7}, έχουμε πως το πρώτο μέλος είναι:

20^x+13^y \equiv -1\pm 1 \pmod{7}.

Η περίπτωση 13^y\equiv 1 \pmod{7} προφανώς απορρίπτεται, καθώς τότε 7|2013^z, άτοπο.

Άρα 13^y\equiv -1 \pmod{7}, δηλαδή 2013^z\equiv -2 \pmod{7}\Leftrightarrow 2013^z\equiv 5 \pmod{7}.

Παρατηρούμε πως η order του 2013 \pmod{7} είναι το 3 και εύκολα βρίσκουμε πως 2013\equiv 4 \pmod{7} και 2013^2\equiv 2 \pmod{7}.

Άρα τα δυνατά υπόλοιπα που αφήνει το 2013^z με το 7 είναι 1, 2, 4, άρα το γεγονός ότι 2013^z\equiv 5 \pmod{7} μας οδηγεί σε άτοπο.

Άρα η διοφαντική μας δεν έχει λύσεις.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8150
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Εκθετική Διοφαντική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Αύγ 29, 2018 1:15 pm

Ουσιαστικά έχει λυθεί το δυσκολότερο κομμάτι του προβλήματος. Μόνο που το πρόβλημα δεν λύθηκε πλήρως αφού ζητούνται οι ακέραιες λύσεις...


Κω.Κωνσταντινίδης
Δημοσιεύσεις: 29
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm

Re: Εκθετική Διοφαντική

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης » Τετ Αύγ 29, 2018 2:31 pm

Το βιβλίο από το οποίο την πήρα, στη λύση χρησιμοποιεί κάποια στιγμή το μικρό θεώρημα του fermat.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 790
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Εκθετική Διοφαντική

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Αύγ 29, 2018 3:07 pm

Demetres έγραψε:
Τετ Αύγ 29, 2018 1:15 pm
Ουσιαστικά έχει λυθεί το δυσκολότερο κομμάτι του προβλήματος. Μόνο που το πρόβλημα δεν λύθηκε πλήρως αφού ζητούνται οι ακέραιες λύσεις...
:oops:

Εξετάζουμε την περίπτωση κάποιος από τους x, y, z να είναι μικρότερος του 0. Θα αποδείξουμε πως θα πρέπει και οι 3 αριθμοί να είναι μικρότεροι του 0. Πράγματι αν είναι μόνο ο x τότε το αριστερό μέλος είναι μη ακέραιος σε αντίθεση με το δεξί. Όμοια για το y. Αν είναι μόνο το z τότε τότε το δεξί μέλος είναι μη ακέραιος σε αντίθεση με το αριστερό. Αν είναι μόνο τα x, y μικρότερα του 0, τότε το αριστερό μέλος είναι μικρότερο του 1 αφού \dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{13}<1, σε αντίθεση με το δεξί. Αν είναι μόνο τα x, z μικρότερα του 0, τότε τότε το αριστερό μέλος είναι μεγαλύτερο του 1, σε αντίθεση με το δεξί.

Άρα θα έπρεπε x, y, z να είναι μικρότεροι του 0.

Γράφουμε την εξίσωση 20^a\cdot 13^b=(20^a+13^b)\cdot 2013^c, όπου a=-x, b=-y, c=-z, με a, b, c>0.

Το 2013 διαιρείται με το 19, άρα θα έπρεπε το 19 να διαιρεί το αριστερό μέλος, άτοπο.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8150
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Εκθετική Διοφαντική

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Αύγ 29, 2018 7:19 pm

Διαφορετικά για την περίπτωση των αρνητικών ακεραίων:

Τα παίρνω όλα στο αριστερό μέρος και τα κάνω ομώνυμα. Αν x < 0, τότε ο αριθμητής θα ισούται με 1 \bmod 5 και αρα θα είναι διάφορος του 0, άτοπο. Άρα x \geqslant 0. Ομοίως και για τα υπόλοιπα.

Να προσθέσω ότι χρειάζεται και ο έλεγχος z \neq 0 (απλός) ώστε να δουλέψει το επιχείρημα του Διονύση με το \mod 3. Για τα x,y δεν χρειάζεται να ελεγχθεί διότι έπεται από την λύση του Διονύση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης