Μέγιστη διαφορά

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1617
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Μέγιστη διαφορά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Ιούλ 08, 2018 8:54 pm

Έστω ακέραιοι m \geqslant n ώστε m^3+n^3+1=4mn. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του m-n.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !

Λέξεις Κλειδιά:
ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ
Δημοσιεύσεις: 34
Εγγραφή: Τετ Μάιος 03, 2017 12:37 am

Re: Μέγιστη διαφορά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ » Δευ Ιούλ 09, 2018 2:46 am

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κυρ Ιούλ 08, 2018 8:54 pm
Έστω ακέραιοι m \geqslant n ώστε m^3+n^3+1=4mn. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του m-n.
Γεια σου Ορέστη!Συγχαρητήρια για την πρόσφατη επιτυχία σου!Λοιπόν ας πάμε τώρα στο πρόβλημα :D.
Αν m=0 παίρνουμε n=-1 άρα m-n=1 .Αν n=-1 τότε παίρνουμε m=0 που είναι αδύνατο λόγω της διάταξης των m,n.
1η περίπτωση:m,n>0:
Έστω m,n\geq 2 τότε έχουμε m^{2}\left ( m-2 \right )+n^{2}\left ( n-2 \right )+1>0\Leftrightarrow m^3+n^3+1>2(m^2+n^2)\geq4mn Άτοπο!
Εξετάζοντας τώρα για έστω m=1 ή 2 τότε παρατηρούμε ότι για κανένα m δεν υπάρχει n που να ικανοποεί την αρχική μας σχέση ομοίως για n=1 ή 2.
2η περίπτωση:m,n<0:
Λαμβάνουμε ότι -m^3-n^3<1 το οποίο είναι αδύνατο.
3η περίπτωση:m>0,n<0:
θέτουμε n=-l<0 άρα η σχέση γίνεται m^3+4ml+1=l^3 αν τώρα l-m\geq2 έχουμε ότι 1\geq (l-m)^2+l^2+m^2 Άτοπο! Άρα l=m ή l=m+1 αντικαθιστώντας τώρα στην αρχική έχουμε ότι κανένα m δεν την ικανοποιεί.Άρα τελικά (m-n)_{max}=1 Ελπίζω να μην έχει ξεφύγει κάτι.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1617
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μέγιστη διαφορά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Ιούλ 09, 2018 1:11 pm

Ανδρέα σε ευχαριστώ πολύ για την λύση σου! :coolspeak:


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 310
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Μέγιστη διαφορά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Δευ Ιούλ 09, 2018 1:16 pm

Δε θα πρεπε να βρεθεί το m+l?
Edit:δε διάβασα τη λύση.. :roll:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης