Τέλειο τετράγωνο

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Τετ Μάιος 03, 2017 12:37 am

Τέλειο τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ » Τρί Ιουν 12, 2018 11:34 pm

\displaystyle{x y z} θετικοί ακέραιοι,ώστε \displaystyle{ \frac{1}x-\frac{1}y=\frac{1}z} και \displaystyle{d} ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να δείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{dxyz} είναι τέλειο τετράγωνο.(Ας μείνει 24 ώρες για τους μαθητές).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1317
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τέλειο τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Ιουν 13, 2018 12:27 am

ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ έγραψε:
Τρί Ιουν 12, 2018 11:34 pm
\displaystyle{x y z} θετικοί ακέραιοι,ώστε \displaystyle{ \frac{1}x-\frac{1}y=\frac{1}z} και \displaystyle{d} ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να δείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{dxyz} είναι τέλειο τετράγωνο.(Ας μείνει 24 ώρες για τους μαθητές).
Η δοσμένη εξίσωση γράφεται yz-xz=xy.

Είναι (x,y,z)=d \Rightarrow x=ad, y=bd, z=cd, με (a,b,c)=1.

Αντικαθιστούμε και είναι bc-ac=ab.

Θέλουμε να δείξουμε ότι το dxyz είναι τέλειο τετράγωνο. Όμως, dxyz=d^4abc, αρκεί λοιπόν ο abc να είναι τέλειο τετράγωνο.

Έστω (a,b)=d_1 , και a=kd_1, b=\ell d_1, με (k,\ell)=1.

Είναι με αντικατάσταση ξανά \ell c-kc=k \ell d_1 \Rightarrow k \mid \ell c-kc \Rightarrow k \mid \ell c, και αφού (k,\ell)=1 \Rightarrow k \mid c, και όμοια \ell \mid c.

Αφού όμως (k,\ell)=1 \Rightarrow k \ell \mid c \Rightarrow c=k \ell m.

Είναι λοιπόν \ell ^2mk-k^2 m \ell=k \ell d_1 \Rightarrow d_1= \ell m -km.

Έτσι, a=kd_1=km(\ell-k), b=\ell d_1= \ell m(\ell-k) και c=k \ell m.

Αν m>1, είναι m \mid a,b,c , άτοπο, αφού (a,b,c)=1.

Άρα, m=1, και έτσι a=k(\ell-k), \, b=\ell(\ell-k), c=k \ell.

Τελικά, \displaystyle abc=[k \ell(\ell-k)]^2=q^2, με q \in \mathbb{Z}, άρα το ζητούμενο δείχτηκε.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Τετ Μάιος 03, 2017 12:37 am

Re: Τέλειο τετράγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ » Τετ Ιουν 13, 2018 1:10 am

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Τετ Ιουν 13, 2018 12:27 am
ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ έγραψε:
Τρί Ιουν 12, 2018 11:34 pm
\displaystyle{x y z} θετικοί ακέραιοι,ώστε \displaystyle{ \frac{1}x-\frac{1}y=\frac{1}z} και \displaystyle{d} ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να δείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{dxyz} είναι τέλειο τετράγωνο.(Ας μείνει 24 ώρες για τους μαθητές).
Η δοσμένη εξίσωση γράφεται yz-xz=xy.

Είναι (x,y,z)=d \Rightarrow x=ad, y=bd, z=cd, με (a,b,c)=1.

Αντικαθιστούμε και είναι bc-ac=ab.

Θέλουμε να δείξουμε ότι το dxyz είναι τέλειο τετράγωνο. Όμως, dxyz=d^4abc, αρκεί λοιπόν ο abc να είναι τέλειο τετράγωνο.

Έστω (a,b)=d_1 , και a=kd_1, b=\ell d_1, με (k,\ell)=1.

Είναι με αντικατάσταση ξανά \ell c-kc=k \ell d_1 \Rightarrow k \mid \ell c-kc \Rightarrow k \mid \ell c, και αφού (k,\ell)=1 \Rightarrow k \mid c, και όμοια \ell \mid c.

Αφού όμως (k,\ell)=1 \Rightarrow k \ell \mid c \Rightarrow c=k \ell m.

Είναι λοιπόν \ell ^2mk-k^2 m \ell=k \ell d_1 \Rightarrow d_1= \ell m -km.

Έτσι, a=kd_1=km(\ell-k), b=\ell d_1= \ell m(\ell-k) και c=k \ell m.

Αν m>1, είναι m \mid a,b,c , άτοπο, αφού (a,b,c)=1.

Άρα, m=1, και έτσι a=k(\ell-k), \, b=\ell(\ell-k), c=k \ell.

Τελικά, \displaystyle abc=[k \ell(\ell-k)]^2=q^2, με q \in \mathbb{Z}, άρα το ζητούμενο δείχτηκε.
Γεια σου Ορέστη ωραία η λύση σου! :coolspeak:


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7881
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Τέλειο τετράγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιουν 14, 2018 12:25 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Τετ Ιουν 13, 2018 12:27 am
ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ έγραψε:
Τρί Ιουν 12, 2018 11:34 pm
\displaystyle{x y z} θετικοί ακέραιοι,ώστε \displaystyle{ \frac{1}x-\frac{1}y=\frac{1}z} και \displaystyle{d} ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να δείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{dxyz} είναι τέλειο τετράγωνο.(Ας μείνει 24 ώρες για τους μαθητές).
Η δοσμένη εξίσωση γράφεται yz-xz=xy.

Είναι (x,y,z)=d \Rightarrow x=ad, y=bd, z=cd, με (a,b,c)=1.

Αντικαθιστούμε και είναι bc-ac=ab.

Θέλουμε να δείξουμε ότι το dxyz είναι τέλειο τετράγωνο. Όμως, dxyz=d^4abc, αρκεί λοιπόν ο abc να είναι τέλειο τετράγωνο.

Διαφορετικά από εδώ.

Έστω πρώτος p. Γράφουμε r,s,t για τις μεγαλύτερες δυνάμεις του p οι οποίες διαιρούν τα a,b,c αντίστοιχα. Αφού (a,b,c) =1, τουλάχιστον ένα από τα r,s,t ισούται με 0.

Περίπτωση 1: Είναι r=0. Επειδή bc = a(c+b), η μεγαλύτερη δύναμη του p που διαιρεί το bc ισούται με s+t. Αν όμως χωρίς βλάβη της γενικότητας s > t, τότε η μεγαλύτερη δύναμη του p που διαιρεί το a(b+c) είναι r+t = t < s+t, άτοπο. Άρα s=t. Οπότε η μεγαλύτερη δύναμη του p που διαιρεί το abc είναι άρτια.

Περίπτωση 2: Είναι r\neq 0. Άρα p|bc. Χωρίς βλάβη της γενικότητας s > 0 αλλά t=0. Η μεγαλύτερη δύναμη του p που διαιρεί το bc ισούται με s και η μεγαλύτερη δύναμη του p που διαιρεί το a(b+c) ισούται με r. Άρα r=s οπότε πάλι η μεγαλύτερη δύναμη του p που διαιρεί το abc είναι άρτια.

Επειδή για κάθε πρώτο p η μεγαλύτερη δύναμη του p που διαιρεί το abc είναι άρτια, τότε ο abc είναι τέλειο τετράγωνο.

Αν και απέφυγα να το χρησιμοποιήσω, ο συμβολισμός \mathrm{ord}_p(n) για την μεγαλύτερη δύναμη του p που διαιρεί τον n είναι αρκετά χρήσιμος.


ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Τετ Μάιος 03, 2017 12:37 am

Re: Τέλειο τετράγωνο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ » Πέμ Ιουν 14, 2018 7:29 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Τετ Ιουν 13, 2018 12:27 am
ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ έγραψε:
Τρί Ιουν 12, 2018 11:34 pm
\displaystyle{x y z} θετικοί ακέραιοι,ώστε \displaystyle{ \frac{1}x-\frac{1}y=\frac{1}z} και \displaystyle{d} ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να δείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{dxyz} είναι τέλειο τετράγωνο.(Ας μείνει 24 ώρες για τους μαθητές).
Η δοσμένη εξίσωση γράφεται yz-xz=xy.

Είναι (x,y,z)=d \Rightarrow x=ad, y=bd, z=cd, με (a,b,c)=1.

Αντικαθιστούμε και είναι bc-ac=ab.

Θέλουμε να δείξουμε ότι το dxyz είναι τέλειο τετράγωνο. Όμως, dxyz=d^4abc, αρκεί λοιπόν ο abc να είναι τέλειο τετράγωνο.
Ξεκινώντας από αυτό το σημείο παραθέτω και εγώ την δικιά μου λύση για λόγους πλουραλισμού:
Έχουμε \displaystyle{bc-ac=ab\Leftrightarrow abc=c^2(b-a)} Άρα αρκεί να δέιξουμε ότι ο \displaystyle{b-a} είναι τέλειο τετράγωνο.Η σχέση μας μπορεί να μετασχηματιστεί ως \displaystyle{(b-a)(c-a)=a^2} Έστω επίσης, \displaystyle{(b-a,c-a)>1} τότε θα υπάρχει πρώτος \displaystyle{p} ώστε \displaystyle{p\mid(b-a,c-a)} όμως από την σχέση λαμβάνουμε ότι \displaystyle{p\mid a} \displaystyle{\Rightarrow} \displaystyle{ p\mid a,b,c} \displaystyle{\Rightarrow} \displaystyle{p\mid(a,b,c)=1} \displaystyle{\Rightarrow} \displaystyle{p=1} Άτοπο! αφού το 1 δεν είναι πρώτος άρα
\displaystyle{(b-a,c-a)=1} \displaystyle{\Rightarrow} \displaystyle{b-a=t^{2} ,t\epsilon \mathbb{Z}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης