Ανισότητα με διαιρέτες
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
Ανισότητα με διαιρέτες
Έστω φυσικός μεγαλύτερος του . Γνωρίζουμε ότι ο έχει συνολικά διαιρέτες στο πλήθος. Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα των διαιρετών του υπερβαίνει τον αριθμό .
τελευταία επεξεργασία από glinos σε Πέμ Μάιος 24, 2018 7:11 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
SuperSaiyan
Λέξεις Κλειδιά:
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα με διαιρέτες
Βελτιώνοντας το ζητούμενο:
Παρατηρούμε ότι οι διαιρέτες του ζευγαρώνονται σε ζεύγη όπου το γινόμενο του κάθε ζεύγους ισούται προς . Για κάθε τέτοιο ζεύγος ισχύει η . Για ένα ακριβώς από τα ζεύγη ισχύει η , ενώ για τα υπόλοιπα ζεύγη ισχύει η (εκτός και αν ο είναι τέλειο τετράγωνο, οπότε έχει περιττό αριθμό διαιρετών, άτοπο). Συμπεραίνουμε ότι το άθροισμα των διαιρετών υπερβαίνει, εκτός και αν ο είναι πρώτος (οπότε όλα απλοποιούνται καθώς ), τον .
Παρατηρούμε ότι οι διαιρέτες του ζευγαρώνονται σε ζεύγη όπου το γινόμενο του κάθε ζεύγους ισούται προς . Για κάθε τέτοιο ζεύγος ισχύει η . Για ένα ακριβώς από τα ζεύγη ισχύει η , ενώ για τα υπόλοιπα ζεύγη ισχύει η (εκτός και αν ο είναι τέλειο τετράγωνο, οπότε έχει περιττό αριθμό διαιρετών, άτοπο). Συμπεραίνουμε ότι το άθροισμα των διαιρετών υπερβαίνει, εκτός και αν ο είναι πρώτος (οπότε όλα απλοποιούνται καθώς ), τον .
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα με διαιρέτες
Τα παραπάνω οδηγούν στην ακόλουθη εικασία (αν δεν είναι γνωστό αποτέλεσμα):gbaloglou έγραψε: ↑Δευ Μαρ 12, 2018 6:06 pmΒελτιώνοντας το ζητούμενο:
Παρατηρούμε ότι οι διαιρέτες του ζευγαρώνονται σε ζεύγη όπου το γινόμενο του κάθε ζεύγους ισούται προς . Για κάθε τέτοιο ζεύγος ισχύει η . Για ένα ακριβώς από τα ζεύγη ισχύει η , ενώ για τα υπόλοιπα ζεύγη ισχύει η (εκτός και αν ο είναι τέλειο τετράγωνο, οπότε έχει περιττό αριθμό διαιρετών, άτοπο). Συμπεραίνουμε ότι το άθροισμα των διαιρετών υπερβαίνει, εκτός και αν ο είναι πρώτος (οπότε όλα απλοποιούνται καθώς ), τον .
Το άθροισμα των διαιρετών του ισούται προς το άθροισμα των αριθμών , όπου ΚΑΙ τέλειο τετράγωνο.
[Ως ειδική περίπτωση, ο είναι πρώτος αν και μόνον αν ο μόνος φυσικός αριθμός μικρότερος του για τον οποίο ο είναι τέλειο τετράγωνο είναι ο . Ένα βήμα πιο πέρα, ο είναι γινόμενο δύο πρώτων αν και μόνον αν υπάρχουν δύο ακριβώς μικρότεροι του φυσικοί για τους οποίους ο είναι τέλειο τετράγωνο, γινόμενο τριών πρώτων αν και μόνον αν υπάρχουν τέσσερις τέτοιοι , κοκ (Στην περίπτωση οι δύο 'αναζητούμενοι' αριθμοί είναι ο γνωστός ύποπτος και ο , από εκεί και πέρα μπλέκουν τα πράγματα (αλλά η εικασία φαίνεται να ισχύει ακόμη, πχ για το άθροισμα των διαιρετών είναι ).]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα με διαιρέτες
Δεν είναι και τόσο μυστηριώδες τελικά:gbaloglou έγραψε: ↑Τρί Μαρ 13, 2018 12:35 amΤα παραπάνω οδηγούν στην ακόλουθη εικασία (αν δεν είναι γνωστό αποτέλεσμα):gbaloglou έγραψε: ↑Δευ Μαρ 12, 2018 6:06 pmΒελτιώνοντας το ζητούμενο:
Παρατηρούμε ότι οι διαιρέτες του ζευγαρώνονται σε ζεύγη όπου το γινόμενο του κάθε ζεύγους ισούται προς . Για κάθε τέτοιο ζεύγος ισχύει η . Για ένα ακριβώς από τα ζεύγη ισχύει η , ενώ για τα υπόλοιπα ζεύγη ισχύει η (εκτός και αν ο είναι τέλειο τετράγωνο, οπότε έχει περιττό αριθμό διαιρετών, άτοπο). Συμπεραίνουμε ότι το άθροισμα των διαιρετών υπερβαίνει, εκτός και αν ο είναι πρώτος (οπότε όλα απλοποιούνται καθώς ), τον .
Το άθροισμα των διαιρετών του ισούται προς το άθροισμα των αριθμών , όπου ΚΑΙ τέλειο τετράγωνο.
[Ως ειδική περίπτωση, ο είναι πρώτος αν και μόνον αν ο μόνος φυσικός αριθμός μικρότερος του για τον οποίο ο είναι τέλειο τετράγωνο είναι ο . Ένα βήμα πιο πέρα, ο είναι γινόμενο δύο πρώτων αν και μόνον αν υπάρχουν δύο ακριβώς μικρότεροι του φυσικοί για τους οποίους ο είναι τέλειο τετράγωνο, γινόμενο τριών πρώτων αν και μόνον αν υπάρχουν τέσσερις τέτοιοι , κοκ (Στην περίπτωση οι δύο 'αναζητούμενοι' αριθμοί είναι ο γνωστός ύποπτος και ο , από εκεί και πέρα μπλέκουν τα πράγματα (αλλά η εικασία φαίνεται να ισχύει ακόμη, πχ για το άθροισμα των διαιρετών είναι ).]
κλπ κλπ
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Ανισότητα με διαιρέτες
Λέω και εγώ να γράψω την λύση μου...gbaloglou έγραψε: ↑Δευ Μαρ 12, 2018 6:06 pmΒελτιώνοντας το ζητούμενο:
Παρατηρούμε ότι οι διαιρέτες του ζευγαρώνονται σε ζεύγη όπου το γινόμενο του κάθε ζεύγους ισούται προς . Για κάθε τέτοιο ζεύγος ισχύει η . Για ένα ακριβώς από τα ζεύγη ισχύει η , ενώ για τα υπόλοιπα ζεύγη ισχύει η (εκτός και αν ο είναι τέλειο τετράγωνο, οπότε έχει περιττό αριθμό διαιρετών, άτοπο). Συμπεραίνουμε ότι το άθροισμα των διαιρετών υπερβαίνει, εκτός και αν ο είναι πρώτος (οπότε όλα απλοποιούνται καθώς ), τον .
Λοιπόν, έστω οι διαιρέτες του
με .Τότε προφανώς
και κλπ. μέχρι .Άρα το άθροισμα είναι ίσο με .Όμως, από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μεσου έχω για κάθε
ότι ,όπου η ισότητα ισχύει μόνο για .Έτσι, το άθροισμα μας είναι μεγαλύτερο ή ίσο του , αφόυ ο όρος
εμφανίζεται συνολικά φορές.Αλλά για να ισχύει η ισότητα πρέπει , άτοπο αφού εάν ο n είναι τέλειο τετράγωνο τότε έχει περιττό πλήθος διαιρετών.Άρα
Τώρα από την ανισότητα γεωμετρικού-αρμονικού μέσου έχω , οπότε .Σύνεπώς, το ζητούμενο άθροισμα υπερβαίνει τον αριθμό .Τέλος, παρατηρούμε οτί για κάθε ισχύει (εύκολη απόδειξη με χιαστί), επομένως
SuperSaiyan
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα με διαιρέτες
Αγαπητέ glinos ως εδώ λέμε περίπου τα ίδια πράγματα, από εδώ και πέρα εξασθενείς ο ίδιος την ανισότητα (σου), πιστεύω δηλαδή ότι τα παρακάτω δεν χρειάζονται.glinos έγραψε: ↑Τρί Μαρ 13, 2018 4:59 pmΛέω και εγώ να γράψω την λύση μου...gbaloglou έγραψε: ↑Δευ Μαρ 12, 2018 6:06 pmΒελτιώνοντας το ζητούμενο:
Παρατηρούμε ότι οι διαιρέτες του ζευγαρώνονται σε ζεύγη όπου το γινόμενο του κάθε ζεύγους ισούται προς . Για κάθε τέτοιο ζεύγος ισχύει η . Για ένα ακριβώς από τα ζεύγη ισχύει η , ενώ για τα υπόλοιπα ζεύγη ισχύει η (εκτός και αν ο είναι τέλειο τετράγωνο, οπότε έχει περιττό αριθμό διαιρετών, άτοπο). Συμπεραίνουμε ότι το άθροισμα των διαιρετών υπερβαίνει, εκτός και αν ο είναι πρώτος (οπότε όλα απλοποιούνται καθώς ), τον .
Λοιπόν, έστω οι διαιρέτες του
με .Τότε προφανώς
και κλπ. μέχρι .Άρα το άθροισμα είναι ίσο με .Όμως, από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μεσου έχω για κάθε
ότι ,όπου η ισότητα ισχύει μόνο για .Έτσι, το άθροισμα μας είναι μεγαλύτερο ή ίσο του , αφόυ ο όρος
εμφανίζεται συνολικά φορές.Αλλά για να ισχύει η ισότητα πρέπει , άτοπο αφού εάν ο n είναι τέλειο τετράγωνο τότε έχει περιττό πλήθος διαιρετών.Άρα
Τώρα από την ανισότητα γεωμετρικού-αρμονικού μέσου έχω , οπότε .Σύνεπώς, το ζητούμενο άθροισμα υπερβαίνει τον αριθμό .Τέλος, παρατηρούμε οτί για κάθε ισχύει (εύκολη απόδειξη με χιαστί), επομένως
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες