ΜΚΔ ΚΑΙ ΕΚΠ
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
ΜΚΔ ΚΑΙ ΕΚΠ
Έστω θετικοί ακέραιοι. Δείξτε ότι
Έστω και , και με .
Έστω ότι το ζητούμενο ισχύει. Έχουμε (που ισχύει, άρα ισχύει το ζητούμενο).
Έστω και , και με .
Έστω ότι το ζητούμενο ισχύει. Έχουμε (που ισχύει, άρα ισχύει το ζητούμενο).
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: ΜΚΔ ΚΑΙ ΕΚΠ
Παναγιώτη, για ξαναδές το αυτό.panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 10, 2018 8:33 pmΈστω θετικοί ακέραιοι. Δείξτε ότι
Έστω και , και με .
Έστω ότι το ζητούμενο ισχύει. Έχουμε (που ισχύει, άρα ισχύει το ζητούμενο).
Για παράδειγμα στον παρονομαστή έχεις πάρει .
Όμως για έχουμε αλλά δεν ισχύει αφού .
Ας προσθέσω ότι ούτε ο ισχυρισμός είναι σωστός.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: ΜΚΔ ΚΑΙ ΕΚΠ
Ας δούμε μια απόδειξη.
Θα δείξω ότι
όπου με παρενθέσεις συμβολίζω τον μέγιστο κοινό διαιρέτη και με αγκύλες το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.
Αρκεί για κάθε πρώτο να δείξω ότι η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί το αριστερό μέλος, ισούται με την μέγιστη δύναμη του που διαιρεί και το δεξί μέλος.
Ας υποθέσουμε ότι οι μέγιστες δυνάμεις του που διαιρούν τα είναι αντίστοιχα. Χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι . Τότε:
Η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί το ισούται με .
Η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί το ισούται με .
Η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί το ισούται με .
Η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί το ισούται με .
Η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί το ισούται με .
Άρα η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί το αριστερό μέλος ισούται με και
η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί το δεξί μέλος ισούται με .
Οπότε το ζητούμενο αποδείχθηκε.
Θα δείξω ότι
όπου με παρενθέσεις συμβολίζω τον μέγιστο κοινό διαιρέτη και με αγκύλες το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.
Αρκεί για κάθε πρώτο να δείξω ότι η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί το αριστερό μέλος, ισούται με την μέγιστη δύναμη του που διαιρεί και το δεξί μέλος.
Ας υποθέσουμε ότι οι μέγιστες δυνάμεις του που διαιρούν τα είναι αντίστοιχα. Χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι . Τότε:
Η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί το ισούται με .
Η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί το ισούται με .
Η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί το ισούται με .
Η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί το ισούται με .
Η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί το ισούται με .
Άρα η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί το αριστερό μέλος ισούται με και
η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί το δεξί μέλος ισούται με .
Οπότε το ζητούμενο αποδείχθηκε.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες