εξισώσεις με πρώτους αριθμούς

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 141
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

εξισώσεις με πρώτους αριθμούς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Παρ Μαρ 09, 2018 3:45 pm

Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους x,y η εξίσωση \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{pq} όπου p,q πρώτοι.


'Ο Αϊνστάιν είπε πως ο θεός δεν παίζει ζάρια. Εγώ δεν πιστεύω μόνο ότι παίζει αλλά ότι δεν ξέρει και που τα ρίχνει'.
Στίβεν Χόκινγκ

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1142
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: εξισώσεις με πρώτους αριθμούς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Ιουν 29, 2018 8:27 pm

panagiotis iliopoulos έγραψε:
Παρ Μαρ 09, 2018 3:45 pm
Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους x,y η εξίσωση \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{pq} όπου p,q πρώτοι.
Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται

\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{pq} \Leftrightarrow \dfrac{x+y}{xy} = \dfrac{1}{pq} \Leftrightarrow xy = pqx+pqy \Leftrightarrow

xy-pqx -pqy + p^{2}q^{2} = p^{2}q^{2} \Leftrightarrow (x-pq)(y-pq) = p^{2}q^{2}

Εφόσον p,q πρώτοι αριθμοί διακρίνουμε τις παρακάτω δυνατές περιπτώσεις για τους παράγοντες του πρώτου μέλους της τελευταίας εξίσωσης

\left\{\begin{matrix} 
x-pq = 1 
\\  
y-pq = p^{2}q^{2} 
\end{matrix}\right.  \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 
x = pq +1 
\\  
y = pq(pq+1)} 
\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} 
x-pq = p 
\\  
y-pq = pq^{2} 
\end{matrix}\right.  \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 
x = p(q +1) 
\\  
y = pq(q+1)} 
\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} 
x-pq = q 
\\  
y-pq = p^{2}q 
\end{matrix}\right.  \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 
x = q(p +1) 
\\  
y = pq(p+1)} 
\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} 
x-pq = p^{2} 
\\  
y-pq = q^{2} 
\end{matrix}\right.  \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 
x = p(p +q) 
\\  
y = q(p+q)} 
\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} 
x-pq = pq 
\\  
y-pq = qq 
\end{matrix}\right.  \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 
x = 2pq 
\\  
y = 2pq} 
\end{matrix}\right.

Καθώς και τα ζεύγη που προκύπτουν αν αναδιατάξουμε τα x,y.

Edit: 7/7/2020 Έγιναν διορθώσεις στην λύση σύμφωνα με τις παρακάτω δημοσιεύσεις.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Τρί Ιούλ 07, 2020 11:26 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


George Tsoutsinos
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 04, 2020 1:03 am

Re: εξισώσεις με πρώτους αριθμούς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από George Tsoutsinos » Κυρ Ιούλ 05, 2020 3:50 am

Η λυση αυτη ειναι εμφανως λανθασμενη διοτι δεν περιλαμβανει την προφανεστατη λυση χ=2pq , y=2pq


George Tsoutsinos
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 04, 2020 1:03 am

Re: εξισώσεις με πρώτους αριθμούς

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από George Tsoutsinos » Κυρ Ιούλ 05, 2020 4:02 am

H x=p(q+1) y=q(p+1) ειναι λαθος . Καλο θα ηταν να κατεβει τελειως η λυση!


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12248
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: εξισώσεις με πρώτους αριθμούς

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιούλ 05, 2020 8:48 am

George Tsoutsinos έγραψε:
Κυρ Ιούλ 05, 2020 3:50 am
Η λυση αυτη ειναι εμφανως λανθασμενη διοτι δεν περιλαμβανει την προφανεστατη λυση χ=2pq , y=2pq
Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Παρακαλώ γράψε το ποστ σου σε latex, όπως πολύ σωστά απαιτούν οι κανονισμοί μας. Επίσης, παρακαλώ να βάζεις τόνους στις λέξεις
όπως απαιτούν τα σωστά ελληνικά αλλά και οι κανονισμοί μας.

Επί της ουσίας:

Η λύση που γράφεις, x=2pq =y, πράγματι λείπει αλλά πρόκειται για μικρή λογιστική αβλεψία. Συγκεκριμένα, οι παραπάνω περιπτώσεις καταλήγουν
στις εξισώσεις x-pq= "κάτι" και   y-pq= "κάτι αντίστοιχο", όπου τα "κάτι" είναι τα ζεύγη παραγόντων του p^2q^2. Εδώ το ζεύγος pq, \, pq δίνει x-pq=pq, \, y-pq =pq από όπου οι λύσεις που επισημαίνεις ότι λείπουν. Ξεχάστηκαν ανάμεσα στις πολλές (εννιά τον αριθμό) που λύνουν την εξίσωση.
George Tsoutsinos έγραψε:
Κυρ Ιούλ 05, 2020 4:02 am
H x=p(q+1) y=q(p+1) ειναι λαθος . Καλο θα ηταν να κατεβει τελειως η λυση!
Έχεις δίκιο ότι η απάντηση είναι λάθος αλλά καλό είναι να μην υπερβάλουμε. Απλά πρόκειται για προφανές τυπογραφικό σφάλμα. Συγκεκριμένα, θα παρατηρήσεις ότι στο βήμα
Al.Koutsouridis έγραψε:
Παρ Ιουν 29, 2018 8:27 pm

\left\{\begin{matrix} 
x-pq = p^{2} 
\\  
y-pq = q^{2} 
\end{matrix}\right.  \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 
x = p(q +1) 
\\  
y = q(p+1)} 
\end{matrix}\right.
.
το δεξί μέλος πρέπει να διορθωθεί τυπογραφικά από x = p(q +1) σε x = p(q +p) και όμοια το y. Αυτές είναι οι σωστές λύσεις αντί αυτών που επισημαίνεις.

Η ουσία της λύσης είναι σωστή. Σίγουρα δεν πρέπει "να κατέβει τελείως".


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες