Αθροισμα τετάρτων δυνάμεων

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω φυσικός της μορφής $16n+15,n\in \mathbb{N}$

Να δειχθεί ότι αν γραφεί σαν άθροισμα τετάρτων δυνάμεων φυσικών

τότε χρειαζόμαστε τουλάχιστον

.

Ορέστης Λιγνός · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 01, 2017 4:04 pm
Εστω φυσικός της μορφής $16n+15,n\in \mathbb{N}$

Να δειχθεί ότι αν γραφεί σαν άθροισμα τετάρτων δυνάμεων φυσικών

τότε χρειαζόμαστε τουλάχιστον .

Γεια σου Σταύρο!

Έστω $16n+15=x_1^4+x_2^4+ \ldots x_k^4$ .

Παρατηρούμε ότι $x^4 \equiv 0,1 \pmod {16}$ , οπότε $x_i^4 \equiv 0,1 \pmod {16}, \,\, i \in \{1, 2, \ldots, k\}$ .

Έστω ότι

εκ των $x_1^4,x_2^4, \ldots, x_k^4$ είναι $\equiv 1 \pmod {16}$ , και οι υπόλοιποι k-a

είναι $\equiv 0 \pmod {16}$ .

Έτσι, $16n+15=x_1^4+x_2^4+ \ldots+x_k^4 \equiv a \pmod {16} \Rightarrow a \equiv 15 \pmod{16} \Rightarrow a \geqslant 15$ , και αφού προφανώς $k \geqslant a$ , $k \geqslant 15$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Καλησπέρα Ορέστη.
Την έκανες μια χαψιά.
Την πήρα από το βιβλίο
Matters Mathematical
I.N.Herstein
I.Kaplansky

#4

Ας βάλω και ένα σχετικό ερώτημα.

Ισχύει ότι κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως άθροισμα

τετάρτων δυνάμεων φυσικών αριθμών. (Εξαιρετικά δύσκολο θεώρημα)

Βρείτε έναν φυσικό αριθμό που όντως χρειάζεται

τέταρτες δυνάμεις.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Είναι $80=5.2^{4}$ οπότε $79 =4.2^{4}+1+....+1$ με

άσσους.
Προφανώς το

είναι ο ζητούμενος αριθμός.

Να σημειώσω ότι στο βιβλίο που ανέφερα παραπάνω έχει σαν άσκηση.

Να αποδειχθεί ότι κάθε φυσικός γράφετε σαν άθροισμα

τετάρτων δυνάμεων ακεραίων.
Βέβαια είναι το c) της άσκησης και τα δύο προηγούμενα ερωτήματα είναι ουσιαστικά για την απόδειξη.

harrisp · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 03, 2017 12:23 pm
Είναι $80=5.2^{4}$ οπότε $79 =4.2^{4}+1+....+1$ με άσσους.
Προφανώς το είναι ο ζητούμενος αριθμός.

Να σημειώσω ότι στο βιβλίο που ανέφερα παραπάνω έχει σαν άσκηση.

Να αποδειχθεί ότι κάθε φυσικός γράφετε σαν άθροισμα τετάρτων δυνάμεων ακεραίων.
Βέβαια είναι το c) της άσκησης και τα δύο προηγούμενα ερωτήματα είναι ουσιαστικά για την απόδειξη.

Καλησπέρα σε όλους!

Είναι γνωστό ότι k=a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2

για κάθε θετικό ακέραιο

με

ακεραίους.

Επίσης είναι (a+b)^4+(a-b)^4+(a+c)^4+(a-c)^4+(a+d)^4+(a-d)^4+(b+c)^4+(b-c)^4+…+(c+d)^4+(c-d)^4=6(a^2+b^2+c^2+d^2)^2=6y^2

Αρα

όμως κάθε ένα από τα 6a_i^2

γράφεται ως άθροισμα 12 τετάρτων δυνάμεων άρα κάθε πολ. 6 γράφεται ως άθροισμα 48 τετάρτων δυνάμεων.

x=6k

προσθέτουμε 5 φορές το 0^4

προσθέτουμε 4 φορές το 0^4

και 1 το

…

προσθέτουμε 5 φορές το 1^4

Συμπερασματικά, κάθε φυσικός γράφεται σαν άθροισμα

τετάρτων δυνάμεων ακεραίων.

Edit: Δείτε την επισήμανση του κ. Λάμπρου πιο κάτω.

#7

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 03, 2017 6:05 pm

Εύκολα αποδεικνύεται ότι για κάθε θετικό ακέραιο με ακεραίους.

Για όσους δεν γνωρίζουν (πάντως δεν είναι εύκολο) βλέπε

https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange% ... re_theorem

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Ιδία με την λύση του Χάρη είναι και η λύση στο πιο πάνω βιβλίο.
Παραθέτει προς απόδειξη την ταυτότητα που χρησιμοποίησε.

Για την παράσταση φυσικού σε δυνάμεις μπορείτε να δείτε στο
https://en.wikipedia.org/wiki/Waring%27s_problem

Αθροισμα τετάρτων δυνάμεων

Αθροισμα τετάρτων δυνάμεων

Re: Αθροισμα τετάρτων δυνάμεων

Re: Αθροισμα τετάρτων δυνάμεων

Re: Αθροισμα τετάρτων δυνάμεων

Re: Αθροισμα τετάρτων δυνάμεων

Re: Αθροισμα τετάρτων δυνάμεων

Re: Αθροισμα τετάρτων δυνάμεων

Re: Αθροισμα τετάρτων δυνάμεων

Μέλη σε σύνδεση