Κομψὴ ρωσικὴ ἀριθμοθεωρητικὴ

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Νὰ βρεθοῦν ὅλες οἱ δυνάμεις τοῦ 2, ποὺ ὅταν τοὺς διαγράψομε τὸ πρῶτο τους δεκαδικὸ ψηφίο, παραμένουν δυνάμεις τοῦ 2.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Έστω

μια δύναμη του

που όταν αφαιρέσεις το πρώτο ψηφίο μένει η δύναμη 2^b

. Προφανώς θα είναι a>b

, επομένως a=b+m

.

Παράλληλα έστω

το πλήθος των ψηφίων του 2^b

. Προφανώς το πλήθος των ψηφίων του $2^{b+m}$ θα είναι x+1

.

Άρα αν $m\geq 7$ έχουμε πως $2^{b+m}\geq 128\cdot 2^b>100\cdot 2^b$ , άτοπο καθώς το πλήθος των ψηφίων του $2^{b+m}$ θα ήταν τουλάχιστον x+2

.

Επομένως $1\leq m\leq 6$ .

Ακόμη έχουμε πως $10^x|2^{b+m}-2^b\Rightarrow 5^x|2^m-1$ . Αν όμως x>1

, τότε πρέπει 25|2^m-1

, άτοπο καθώς $1\leq m\leq 6$ και έχουμε πως $25|2^{20k}-1$ .

Άρα x=1

και επομένως $a\leq 6$ .

Με δοκιμές βρίσκουμε πως οι μοναδικές περιπτώσεις είναι το

και το

.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #3

Μιὰ ἄλλη λύση:

Οἱ δύο δυνάμεις τοῦ 2, ἔστω 2^a

καὶ

,

, ἔχουν τὸ ἴδιο τελευταῖο ψηφίο, καὶ ἄρα b=a+4

, καὶ συνεπῶς $2^b-2^a=15\cdot 2^a.$ Ἄρα ὁ 2^a

εἶναι μονοψηφίος, ἀλλιῶς ὁ 2^b-2^a.

θὰ ἐδιαιρεῖτο ἀπὸ ὑψηλότερη δύναμη τοῦ 5. Διαπιστώνεται, ὅτι 2^a=2

ἢ

.