Κομψὴ ρωσικὴ ἀριθμοθεωρητικὴ
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Κομψὴ ρωσικὴ ἀριθμοθεωρητικὴ
ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Νὰ βρεθοῦν ὅλες οἱ δυνάμεις τοῦ 2, ποὺ ὅταν τοὺς διαγράψομε τὸ πρῶτο τους δεκαδικὸ ψηφίο, παραμένουν δυνάμεις τοῦ 2.
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Κομψὴ ρωσικὴ ἀριθμοθεωρητικὴ
Έστω μια δύναμη του που όταν αφαιρέσεις το πρώτο ψηφίο μένει η δύναμη . Προφανώς θα είναι , επομένως .
Παράλληλα έστω το πλήθος των ψηφίων του . Προφανώς το πλήθος των ψηφίων του θα είναι .
Άρα αν έχουμε πως , άτοπο καθώς το πλήθος των ψηφίων του θα ήταν τουλάχιστον .
Επομένως .
Ακόμη έχουμε πως . Αν όμως , τότε πρέπει , άτοπο καθώς και έχουμε πως .
Άρα και επομένως .
Με δοκιμές βρίσκουμε πως οι μοναδικές περιπτώσεις είναι το και το .
Παράλληλα έστω το πλήθος των ψηφίων του . Προφανώς το πλήθος των ψηφίων του θα είναι .
Άρα αν έχουμε πως , άτοπο καθώς το πλήθος των ψηφίων του θα ήταν τουλάχιστον .
Επομένως .
Ακόμη έχουμε πως . Αν όμως , τότε πρέπει , άτοπο καθώς και έχουμε πως .
Άρα και επομένως .
Με δοκιμές βρίσκουμε πως οι μοναδικές περιπτώσεις είναι το και το .
Houston, we have a problem!
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Re: Κομψὴ ρωσικὴ ἀριθμοθεωρητικὴ
Μιὰ ἄλλη λύση:
Οἱ δύο δυνάμεις τοῦ 2, ἔστω καὶ , , ἔχουν τὸ ἴδιο τελευταῖο ψηφίο, καὶ ἄρα , καὶ συνεπῶς Ἄρα ὁ εἶναι μονοψηφίος, ἀλλιῶς ὁ θὰ ἐδιαιρεῖτο ἀπὸ ὑψηλότερη δύναμη τοῦ 5. Διαπιστώνεται, ὅτι ἢ .
Οἱ δύο δυνάμεις τοῦ 2, ἔστω καὶ , , ἔχουν τὸ ἴδιο τελευταῖο ψηφίο, καὶ ἄρα , καὶ συνεπῶς Ἄρα ὁ εἶναι μονοψηφίος, ἀλλιῶς ὁ θὰ ἐδιαιρεῖτο ἀπὸ ὑψηλότερη δύναμη τοῦ 5. Διαπιστώνεται, ὅτι ἢ .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες