Διοφαντική εξίσωση

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Αν κάποιο από τα x, y, z

ήταν αρνητικό, θα ήταν και τα υπόλοιπα αρνητικά.

Άρα θα έπρεπε να λύσουμε την εξίσωση $\dfrac{1}{2^m}+\dfrac{1}{3^n}=\dfrac{1}{7^k}\Leftrightarrow 7^k(2^m+3^n)=2^m\cdot 3^n$ , άτοπο, καθώς το

δεν διαιρεί το $2^m\cdot 3^n$ .

Άρα τα x, y, z

είναι μη αρνητικά.

Αν x=0

η εξίσωση γίνεται: 7^z-3^y=1

, η οποία δεν έχει λύσεις στους μη αρνητικούς ακεραίους (ένας τρόπος για να το αποδείξουμε αυτό είναι να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα Catalan

).

Αν

όμοια αποδεικνύουμε πως η εξίσωση 7^z-2^x=1

δεν έχει λύσεις στους μη αρνητικούς ακεραίους.

Αν z=0

πρέπει

, η οποία προφανώς δεν έχει λύσεις στους μη αρνητικούς ακεραίους.

Άρα τα x, y, z

είναι θετικοί ακέραιοι

Παίρνοντας $\pmod{3}$ , έχουμε πως $2^x\equiv 1 \pmod{3}$ , επομένως το

είναι άρτιο, έστω x=2m

.

Η εξίσωση τώρα γίνεται 4^m+3^y=7^z

.

Αν

η εξίσωση γίνεται 4+3^y=7^z

, που έχει την λύση (y, z)=(1, 1)

(Δεν έχω αποδείξει πως δεν έχει άλλες λύσεις, αλλά είμαι σίγουρος για αυτό).

Άρα μια λύση της εξίσωσης είναι (x, y, z)=(2, 1, 1)

.

Αν

, τότε έχουμε πως $7^z\equiv 3^y \pmod{8}$

Αν

περιττό, τότε $7^z\equiv 7 \pmod{8}$

Όμως $3^y \equiv 1 \pmod{8}$ ή $3^y\equiv 3 \pmod{8}$ , άτοπο.

Άρα

είναι άρτιος (έστω z=2k

) και άρα $3^y \equiv 1 \pmod{8}$ , άρα και

άρτιος (έστω y=2l

) .

Επομένως πρέπει $7|2^{2m}+3^{2l}$ . Όμως αφού το

είναι πρώτος της μορφής 4n+3

και $2^{2m}$ και $3^{2l}$ είναι τετράγωνα, έχουμε από γνωστό θεώρημα πως πρέπει $7|2^{2m}$ και $7|3^{2l}$ , άτοπο.

Συγκεκριμένα το θεώρημα λέει πως αν $p\equiv -1 \pmod{4}$ και

πρώτος με

, τότε

και

.

Μοναδική λύση της εξίσωσης λοιπόν είναι η (x, y, z)=(2, 1 ,1)

min## · #3

Θα αποδείξω ότι 7^a-3^b=4

δεν έχει άλλη λύση στους θετικούς ακέραιους πέρα από την (a,b)=(1,1)

.
Με

παίρνουμε ότι τα a,b

είναι περιττοί.Άρα η δοθείσα γίνεται 7*49^k-3*9^l=4

.
Με

παίρνουμε ότι 7*(-1)^k-3*(-1)^l=4 mod5

το οποίο αληθεύει μόνο για $k,l\equiv 0 mod2$ ,δηλαδή $a,b\equiv 1 mod4$ .
Με mod9

(για $b \geq 2)$
και βλέποντας τα μοτίβα στο αριστερό μέλος ( 1,4,7

) αληθεύει η ισότητα μόνο για $k\equiv 2mod3$ , δηλαδή $a\equiv 5 mod12$ (σύμφωνα και με τα παραπάνω).
Με mod 13

, $7^{12t+5}-3^{4n+1}\equiv 4 mod13$ .Όμως, βλέποντας τα μοτίβα στο αριστερό μέλος, $7^{12t+5}\equiv 11mod13$ ( 7,10,5,9,11,12,6,3,8,4,2,1

) και άρα πρέπει $3^{4n+1}\equiv 7mod13$
κάτι που ποτέ δε συμβαίνει.Άρα πρέπει b< 2

..Παρεμπιπτόντως πως μπορώ να ξεκολλάω τα mod στο eqeditor?

#4

min## έγραψε:...Παρεμπιπτόντως πώς μπορώ να ξεκολλάω τα mod στο eqeditor;

Με την εντολή \pmod. Π.χ.

$3^{4n+1}\equiv 7 \pmod{13}$

min## · #5

socrates έγραψε:
min## έγραψε:...Παρεμπιπτόντως πώς μπορώ να ξεκολλάω τα mod στο eqeditor;
Με την εντολή \pmod. Π.χ.

$3^{4n+1}\equiv 7 \pmod{13}$

Ευχαριστώ.

Διοφαντική εξίσωση

Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση