Τετράγωνο...

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #1

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι

, έτσι ώστε n^2+2^n

να είναι τέλειο τετράγωνο.

Ορέστης Λιγνός · #2

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι , έτσι ώστε να είναι τέλειο τετράγωνο.

Από τις όμορφες Σέρρες, καλημέρα σε όλους και Καλό Πάσχα!

Έστω n^2+2^n=a^2

(1) με $a,n \in \mathbb{N}$ .

Η (1) γράφεται (a-n)(a+n)=2^n

.

Προφανώς, $a-n=2^x \, (2), \, a+n=2^{n-x} \, (3)$ .

Αν x=0

,

και από (1), 2^n=2n+1

, άτοπο (άρτιος=περιττός).

Άρα, $x \neq 0$ .

Αφαιρώντας κατά μέλη τις (2), (3) παίρνουμε $2n=2^{n-x}-2^x$ και διαιρώντας με

έχουμε την $n=2^{n-x-1}-2^{x-1}$ .

Πρέπει n>0

, οπότε $n-x-1 >x-1 \Leftrightarrow n-x-1 \geqslant x$ .

Άρα, $n=2^{n-x-1}-2^{x-1} \geqslant 2^x-2^{x-1}=2^{x-1}$ .

Οπότε, $n \geqslant 2^{x-1}$ (4).

Από την a-n=2^x

παίρνουμε $\dfrac{a-n}{2}=2^{x-1}$ .

Από την (4) λοιπόν είναι $n \geqslant \dfrac{a-n}{2} \Leftrightarrow a \leqslant 3n$ .

Έτσι, $n^2+2^n=a^2 \leqslant 9n^2 \Leftrightarrow 2^n \leqslant 8n^2$ , που ισχύει για $n \leqslant 9$ , και με δοκιμές $\boxed{n=6}$ .

#3

Έστω $\displaystyle{m,n}$ θετικοί ακέραιοι τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{{2^n} + {n^2} = {m^2}.}$ Τότε, είναι

$\displaystyle{{2^n} = {m^2} - {n^2} = \left( {m - n} \right)\left( {m + n} \right),}$

οπότε υπάρχει ακέραιος $\displaystyle{k \ge 0}$ τέτοιος, ώστε

$\displaystyle{m - n = {2^k}}$ και

$\displaystyle{m + n = {2^{n - k}}.}$

Έχουμε ότι:

$\displaystyle{m - n < m + n \Rightarrow {2^k} < {2^{n - k}} \Rightarrow k < n - k \Rightarrow n - 2k \ge 1.}$

Επίσης, είναι:

$\displaystyle{2n = \left( {m + n} \right) - \left( {m - n} \right) = {2^{n - k}} - {2^k} = {2^k}\left( {{2^{n - 2k}} - 1} \right),}$

και άρα $\displaystyle{k \ge 1.}$

(Πράγματι, αν $\displaystyle{k = 0,}$ τότε θα είχαμε ότι $\displaystyle{2n = {2^n} - 1,}$ που είναι άτοπο, αφού το αριστερό μέλος είναι άρτιος, ενώ το δεξί είναι περιττός).

Έτσι, έχουμε ότι

$\displaystyle{n = {2^{k - 1}}\left( {{2^{n - 2k}} - 1} \right)}$ $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ .

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

$\bullet$ Αν $\displaystyle{n - 2k = 1,}$ τότε η σχέση $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ δίνει ότι:

$\displaystyle{2k + 1 = n = {2^{k - 1}},}$

που είναι άτοπο, αφού για $\displaystyle{k > 1}$ το δεξί μέλος είναι άρτιος, ενώ δεν ισχύει ούτε για $\displaystyle{k = 1.}$

$\bullet$ Αν $\displaystyle{n - 2k \ge 2,}$ τότε είναι $\displaystyle{k \le n - k - 2,}$ και άρα:

$\displaystyle{2n = {2^{n - k}} - {2^k} \ge {2^{n - k}} - {2^{n - k - 2}} = {2^{n - k - 2}}\left( {{2^2} - 1} \right) = 3 \cdot {2^{n - k - 2}}.}$

Χρησιμοποιώντας την ανισότητα $\displaystyle{{2^r} \ge 2r + 2}$ που ισχύει για κάθε ακέραιο $\displaystyle{r \ge 3}$ (και αποδεικνύεται εύκολα με επαγωγή) βρίσκουμε ότι αν $\displaystyle{n - k - 2 \ge 3,}$ τότε

$\displaystyle{2n \ge 3 \cdot {2^{n - k - 2}} \ge 3 \cdot \left[ {2\left( {n - k - 2} \right) + 2} \right] \Rightarrow n \ge 3n - 3k - 3 \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow 2n \le 3k + 3.}$

Αλλά είναι και

$\displaystyle{n - 2k \ge 2 \Rightarrow 2n \ge 4k + 4,}$

οπότε

$\displaystyle{3k + 3 \ge 4k + 4,}$

πράγμα άτοπο.

Απομένει να εξετάσουμε την περίπτωση $\displaystyle{n - k - 2 \le 2.}$ Τότε, είναι:

$\displaystyle{2k + 2 \le n \le k + 4 \Rightarrow k \in \left\{ {1,2} \right\}.}$

Για $\displaystyle{k = 1}$ βρίσκουμε ότι $\displaystyle{n \in \left\{ {4,5} \right\},}$ που δεν είναι δεκτές.

Για $\displaystyle{k = 2}$ βρίσκουμε ότι $\displaystyle{n = 6,}$ που είναι δεκτή.

Ώστε, ο μοναδικός θετικός ακέραιος με τη ζητούμενη ιδιότητα είναι ο $\boxed{n=6}$ .

Σημείωση: Με πρόλαβε (με διαφορά ενός λεπτού!) ο εκπληκτικός Ορέστης! Το αφήνω για τον κόπο της πληκτρολόγησης...

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #4

Η λύση μου ήταν ίδια με αυτή του κυρίου Βαγγέλη.

Ήταν η άσκηση J401 από το Mathematical Reflections τ. 1/2017.

Εύχομαι σε όλους Καλή Ανάσταση και Καλό Πάσχα.

Τετράγωνο...

Τετράγωνο...

Re: Τετράγωνο...

Re: Τετράγωνο...

Re: Τετράγωνο...

Μέλη σε σύνδεση