Τετράγωνο...
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Τετράγωνο...
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι , έτσι ώστε να είναι τέλειο τετράγωνο.
Houston, we have a problem!
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Τετράγωνο...
Από τις όμορφες Σέρρες, καλημέρα σε όλους και Καλό Πάσχα!Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι , έτσι ώστε να είναι τέλειο τετράγωνο.
Έστω (1) με .
Η (1) γράφεται .
Προφανώς, .
Αν , και από (1), , άτοπο (άρτιος=περιττός).
Άρα, .
Αφαιρώντας κατά μέλη τις (2), (3) παίρνουμε και διαιρώντας με έχουμε την .
Πρέπει , οπότε .
Άρα, .
Οπότε, (4).
Από την παίρνουμε .
Από την (4) λοιπόν είναι .
Έτσι, , που ισχύει για , και με δοκιμές .
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Παρ Απρ 14, 2017 11:28 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Τετράγωνο...
Έστω θετικοί ακέραιοι τέτοιοι, ώστε Τότε, είναι
οπότε υπάρχει ακέραιος τέτοιος, ώστε
και
Έχουμε ότι:
Επίσης, είναι:
και άρα
(Πράγματι, αν τότε θα είχαμε ότι που είναι άτοπο, αφού το αριστερό μέλος είναι άρτιος, ενώ το δεξί είναι περιττός).
Έτσι, έχουμε ότι
.
Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
Αν τότε η σχέση δίνει ότι:
που είναι άτοπο, αφού για το δεξί μέλος είναι άρτιος, ενώ δεν ισχύει ούτε για
Αν τότε είναι και άρα:
Χρησιμοποιώντας την ανισότητα που ισχύει για κάθε ακέραιο (και αποδεικνύεται εύκολα με επαγωγή) βρίσκουμε ότι αν τότε
Αλλά είναι και
οπότε
πράγμα άτοπο.
Απομένει να εξετάσουμε την περίπτωση Τότε, είναι:
Για βρίσκουμε ότι που δεν είναι δεκτές.
Για βρίσκουμε ότι που είναι δεκτή.
Ώστε, ο μοναδικός θετικός ακέραιος με τη ζητούμενη ιδιότητα είναι ο .
Σημείωση: Με πρόλαβε (με διαφορά ενός λεπτού!) ο εκπληκτικός Ορέστης! Το αφήνω για τον κόπο της πληκτρολόγησης...
οπότε υπάρχει ακέραιος τέτοιος, ώστε
και
Έχουμε ότι:
Επίσης, είναι:
και άρα
(Πράγματι, αν τότε θα είχαμε ότι που είναι άτοπο, αφού το αριστερό μέλος είναι άρτιος, ενώ το δεξί είναι περιττός).
Έτσι, έχουμε ότι
.
Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
Αν τότε η σχέση δίνει ότι:
που είναι άτοπο, αφού για το δεξί μέλος είναι άρτιος, ενώ δεν ισχύει ούτε για
Αν τότε είναι και άρα:
Χρησιμοποιώντας την ανισότητα που ισχύει για κάθε ακέραιο (και αποδεικνύεται εύκολα με επαγωγή) βρίσκουμε ότι αν τότε
Αλλά είναι και
οπότε
πράγμα άτοπο.
Απομένει να εξετάσουμε την περίπτωση Τότε, είναι:
Για βρίσκουμε ότι που δεν είναι δεκτές.
Για βρίσκουμε ότι που είναι δεκτή.
Ώστε, ο μοναδικός θετικός ακέραιος με τη ζητούμενη ιδιότητα είναι ο .
Σημείωση: Με πρόλαβε (με διαφορά ενός λεπτού!) ο εκπληκτικός Ορέστης! Το αφήνω για τον κόπο της πληκτρολόγησης...
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Τετράγωνο...
Η λύση μου ήταν ίδια με αυτή του κυρίου Βαγγέλη.
Ήταν η άσκηση J401 από το Mathematical Reflections τ. 1/2017.
Εύχομαι σε όλους Καλή Ανάσταση και Καλό Πάσχα.
Ήταν η άσκηση J401 από το Mathematical Reflections τ. 1/2017.
Εύχομαι σε όλους Καλή Ανάσταση και Καλό Πάσχα.
Houston, we have a problem!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες