Απλή και Ωραία!

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 593
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Απλή και Ωραία!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Κυρ Απρ 09, 2017 11:47 am

Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων (a,b) ώστε οι A=\dfrac{a^2+b}{b^2-a} και B=\dfrac{b^2+a}{a^2-b} να είναι συγχρόνως ακέραιοι. Για μαθητές.


Bye :')

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 593
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Απλή και Ωραία!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τρί Απρ 11, 2017 11:33 am

Επαναφορά , είναι απλή.


Bye :')
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 469
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Απλή και Ωραία!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Τρί Απρ 11, 2017 12:42 pm

Έλα και κάποιο παιδί να την λύσει... Είναι ωραία και κλασική άσκηση!!


harrisp
Δημοσιεύσεις: 547
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Απλή και Ωραία!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τρί Απρ 11, 2017 1:11 pm

Υποθεστε οτι a>b και καταλήξτε σε...


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1630
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Απλή και Ωραία!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τρί Απρ 11, 2017 1:33 pm

Γεια σε όλους!

Πρέπει \displaystyle A \in \mathbb{Z} \Rightarrow|a^2+b| \geqslant |b^2-a| \Rightarrow a^2+b \geqslant b^2-a

\Leftrightarrow a^2-b^2 +a+b \geqslant 0  \Leftrightarrow (a-b)(a+b)+a+b \geqslant 0 \Leftrightarrow a+1 \geqslant b, (1).

Όμοια a \leqslant b+1, \, (2).

Από (1), (2) b+1 \geqslant a \geqslant b-1, άρα a=b-1 ή a=b ή a=b+1.

Τα υπόλοιπα εύκολα ...


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 593
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Απλή και Ωραία!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τρί Απρ 11, 2017 1:40 pm

:coolspeak: Η άσκηση είναι από APMO


Bye :')
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 469
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Απλή και Ωραία!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Τετ Απρ 12, 2017 7:09 pm

Την έχει ολόκληρώσει κάποιος? Γιατί η αρχή που έχει κάνει ο Ορέστης είναι το εύκολο νομίζω( και εγώ ξεγελάστικα μόλις το έφτασα εκεί) μιας και την λύσαμε με τα παιδιά και μετά ξεφεύγει!! Εκτός αν μας διέφυγε κάτι!!


harrisp
Δημοσιεύσεις: 547
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Απλή και Ωραία!

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Πέμ Απρ 13, 2017 5:21 pm



Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12497
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Απλή και Ωραία!

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Απρ 13, 2017 5:23 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:Την έχει ολόκληρώσει κάποιος? Γιατί η αρχή που έχει κάνει ο Ορέστης είναι το εύκολο νομίζω( και εγώ ξεγελάστικα μόλις το έφτασα εκεί) μιας και την λύσαμε με τα παιδιά και μετά ξεφεύγει!! Εκτός αν μας διέφυγε κάτι!!
Υπόδειξη: Αν a=b+1 τότε βγαίνει B=1 (τελειώσαμε). Επίσης βγαίνει A= 1 + \dfrac {4b+2}{b^2-b-1}. Αυτό απαιτεί b^2-b-1\le 4b+2 ή αλλιώς b^2\le 5b+3, το οποίο αποκλείει όλα τα b\ge 6. Και λοιπά.


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Απλή και Ωραία!

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Πέμ Απρ 13, 2017 5:42 pm

Πρέπει |a^{2}+b|\geq |b^{2}-a| και |b^{2}+a|\geq |a^{2}-b|

Αφού a^{2}+b>0 και b^{2}+a>0, έχω:

a^{2}+b \geq b^{2}-a \Rightarrow (a+b)(a-b+1) \geq 0 και b^{2}+a \geq a^{2} -b \Rightarrow (a+b)(a-b-1) \leq 0

Επειδή (a+b) θετικό, έχω:

a-b \geq -1 και a-b \leq 1

Άρα -1 \leq a-b \leq 1

Επομένως a=b-1 ή a=b ή a=b+1

\cdot Για a=b έχω:

A=\dfrac{a^{2}+a}{a^{2}-a}=\dfrac{a+1}{a-1}\in\mathbb{Z}

Έστω ότι a-1=x. Άρα a+1=x+2. Πρέπει x/x+2. Αφού x/x τότε x/2 δηλαδή x=1, x=2

Άρα \boxed{(a,b)=(2,2),(3,3)}

\cdot Για a=b-1 έχω:

A=\dfrac{(b-1)^{2}+b}{b^{2}-b+1}=1

B=\dfrac{b^{2}+b-1}{(b-1)^{2}-b}=\dfrac{b^{2}+b-1}{b^{2}-3b+1}=1+\dfrac{4b-2}{b^{2}-3b+1}\in\mathbb{Z}

Ισχύει 4b-2 \geq b^{2}-3b \Rightarrow b^{2}-7b+3 \leq 0

\Delta=37

b 1,2=\dfrac{7 \pm \sqrt{\Delta}}{2}

Άρα \dfrac{7-\sqrt{37}}{2} \leq b \leq \dfrac{7+\sqrt{37}}{2}

Επομένως, b \leq 6

\bullet Για b=1, a=0 Αδύνατο
\bullet Για b=2, a=1 A=1, B=-5 Δεκτό

Τα υπόλοιπα εύκολα
τελευταία επεξεργασία από Κατερινόπουλος Νικόλας σε Τρί Απρ 25, 2017 4:13 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 469
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Απλή και Ωραία!

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Πέμ Απρ 13, 2017 5:51 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τσιαλας Νικολαος έγραψε:Την έχει ολόκληρώσει κάποιος? Γιατί η αρχή που έχει κάνει ο Ορέστης είναι το εύκολο νομίζω( και εγώ ξεγελάστικα μόλις το έφτασα εκεί) μιας και την λύσαμε με τα παιδιά και μετά ξεφεύγει!! Εκτός αν μας διέφυγε κάτι!!
Υπόδειξη: Αν a=b+1 τότε βγαίνει B=1 (τελειώσαμε). Επίσης βγαίνει A= 1 + \dfrac {4b+2}{b^2-b-1}. Αυτό απαιτεί b^2-b-1\le 4b+2 ή αλλιώς b^2\le 5b+3, το οποίο αποκλείει όλα τα b\ge 6. Και λοιπά.
Έτσι τη λύσαμε..απλά δεν είναι και τόσο απλή τελικά. Όπως και για a=b βγαίνει ωραία διαιρετότητα x/x+2 άρα α=b=2 ή 3


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης