Τέλειο Τετράγωνο
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
Τέλειο Τετράγωνο
Να βρείτε τους θετικούς ακεραίους καθώς και τον πρωτο ωστε ο αριθμος
να ειναι τέλειο τετραγωνο ακεραίου
να ειναι τέλειο τετραγωνο ακεραίου
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Τέλειο Τετράγωνο
Θέλουμε να ισχύει ότι:
Προφανώς ο πρέπει να είναι άρτιος, άρα ο πρέπει να είναι περιττός, έστω , με μη αρνητικό ακέραιο.
Η εξίσωση μετά από μερικές πράξεις γίνεται:
Έστω .
Προφανώς, αφού , έχουμε ότι , όπου θετικός ακέραιος.
Παρομοίως έχουμε ότι . Αν ο είναι άρτιος τότε πρέπει , όπου θετικός ακέραιος. Αν ο είναι περιττός, τότε , άρα (δεν ισχύει). Σε κάθε περίπτωση έχουμε πως .
Άρα πρέπει να ισχύει ότι και από το θεώρημα ή το θεώρημα παίρνουμε εύκολα ότι , άρα και . Αντικαθιστώντας έχουμε πως . Αν , τότε έχουμε το ζεύγος . Αν , έχουμε το ζεύγος . Αν , τότε πρέπει , άτοπο.
Έστω . Τότε , που είναι άτοπο, καθώς 1.
Μοναδικές λύσεις λοιπόν οι .
Προσοχή: Η λύση έχει κενό!
Προφανώς ο πρέπει να είναι άρτιος, άρα ο πρέπει να είναι περιττός, έστω , με μη αρνητικό ακέραιο.
Η εξίσωση μετά από μερικές πράξεις γίνεται:
Έστω .
Προφανώς, αφού , έχουμε ότι , όπου θετικός ακέραιος.
Παρομοίως έχουμε ότι . Αν ο είναι άρτιος τότε πρέπει , όπου θετικός ακέραιος. Αν ο είναι περιττός, τότε , άρα (δεν ισχύει). Σε κάθε περίπτωση έχουμε πως .
Άρα πρέπει να ισχύει ότι και από το θεώρημα ή το θεώρημα παίρνουμε εύκολα ότι , άρα και . Αντικαθιστώντας έχουμε πως . Αν , τότε έχουμε το ζεύγος . Αν , έχουμε το ζεύγος . Αν , τότε πρέπει , άτοπο.
Έστω . Τότε , που είναι άτοπο, καθώς 1.
Μοναδικές λύσεις λοιπόν οι .
Προσοχή: Η λύση έχει κενό!
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Κυρ Φεβ 12, 2017 3:20 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Houston, we have a problem!
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Τέλειο Τετράγωνο
Ευχαριστώ για την επισήμανση. Η λύση πάνω έχει κενό.JimNt. έγραψε:Είναι και η
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Κυρ Φεβ 12, 2017 3:21 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Houston, we have a problem!
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Τέλειο Τετράγωνο
Έστω ότι όπου θετικός ακέραιος.
Θεωρούμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη των όρων του κλάσματος:
Θα πρέπει:
Αλλά είναι:
οπότε και άρα
Έχουμε, λοιπόν, τις περιπτώσεις:
Έστω ότι Τότε και άρα και Από την τελευταία ισότητα έχουμε ότι ο είναι περιττός, οπότε η σχέση
δίνει τρεις περιπτώσεις:
(i)
(ii)
οπότε
Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι οπότε από το Λήμμα LTE (Lifting The Exponent) έχουμε ότι
και άρα δηλαδή Αλλά τότε έχουμε ότι:
για κάθε Οι περιπτώσεις και δεν μπορεί να ισχύουν, αλλά για προκύπτει η λύση
Στην περίπτωση
(iii)
βρίσκουμε όμοια ότι Όπως πριν, είναι και άρα
για κάθε Εύκολα ελέγχουμε ότι οι περιπτώσεις και δεν οδηγούν σε λύση.
Έστω ότι Τότε άτοπο.
Έστω ότι Τότε, είναι υποχρεωτικά οπότε
Πάλι από το Λήμμα LTE έχουμε ότι
οπότε και άρα
για κάθε Η περίπτωση δεν μπορεί να ισχύει, αλλά για προκύπτει η λύση
Έστω ότι Τότε άτοπο.
Ώστε, οι ζητούμενες λύσεις είναι οι .
Θεωρούμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη των όρων του κλάσματος:
Θα πρέπει:
Αλλά είναι:
οπότε και άρα
Έχουμε, λοιπόν, τις περιπτώσεις:
Έστω ότι Τότε και άρα και Από την τελευταία ισότητα έχουμε ότι ο είναι περιττός, οπότε η σχέση
δίνει τρεις περιπτώσεις:
(i)
(ii)
οπότε
Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι οπότε από το Λήμμα LTE (Lifting The Exponent) έχουμε ότι
και άρα δηλαδή Αλλά τότε έχουμε ότι:
για κάθε Οι περιπτώσεις και δεν μπορεί να ισχύουν, αλλά για προκύπτει η λύση
Στην περίπτωση
(iii)
βρίσκουμε όμοια ότι Όπως πριν, είναι και άρα
για κάθε Εύκολα ελέγχουμε ότι οι περιπτώσεις και δεν οδηγούν σε λύση.
Έστω ότι Τότε άτοπο.
Έστω ότι Τότε, είναι υποχρεωτικά οπότε
Πάλι από το Λήμμα LTE έχουμε ότι
οπότε και άρα
για κάθε Η περίπτωση δεν μπορεί να ισχύει, αλλά για προκύπτει η λύση
Έστω ότι Τότε άτοπο.
Ώστε, οι ζητούμενες λύσεις είναι οι .
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Re: Τέλειο Τετράγωνο
Η πηγή απο οπου πήρα την ασκηση είχε τελικά λάθη.
Απο οτι φαίνεται πρόκειται για κάκιστη επιλογή φακέλου.
Ζητώ συγγνώμη για την παρεξήγηση.
Ευχαριστώ πολυ τον κύριο Βαγγέλη για την λυση.
Απο οτι φαίνεται πρόκειται για κάκιστη επιλογή φακέλου.
Ζητώ συγγνώμη για την παρεξήγηση.
Ευχαριστώ πολυ τον κύριο Βαγγέλη για την λυση.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες