Υπόλοιπο !

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 593
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Υπόλοιπο !

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τρί Ιαν 10, 2017 12:08 pm

Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του 2017^{192} με το 128.


Bye :')

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6271
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Υπόλοιπο !

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Ιαν 10, 2017 12:14 pm

Είναι

\displaystyle{\phi (128)=\phi (2^7)=2^7-2^6=64.}

Άρα

\displaystyle{2017^{64}\equiv 1\mod 128}

και με ύψωση στην τρίτη βρίσκουμε

\displaystyle{2017^{192}\equiv 1\mod 128.}


Μάγκος Θάνος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3228
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Υπόλοιπο !

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιαν 10, 2017 5:25 pm

Διαφορετικά χωρίς Euler.

2017=2^{11}-31

Επειδή 128=2^{7}

πρέπει να βρούμε το υπόλοιπο του (-31)^{192} με το 2^{7}

Αλλά 31=2^{5}-1 οπότε

(-31)^{4}=(2^{5}-1)^{4}=(2^{10}-2^{6}+1)^{2}=k2^{6}+1,k\in \mathbb{N}

Αρα (-31)^{8}=m2^{7}+1,m\in N

Τελικά (-31)^{192}=((-31)^{8})^{24}=(m2^{7}+1)^{24}=l2^{7}+1,l\in \mathbb{N}

Αρα το υπόλοιπο είναι 1

Δεν χρειάσθηκε ότι (2017,2^{7})=1


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Υπόλοιπο !

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Ιαν 10, 2017 6:18 pm

Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι 2017=32m +1, όπου m ακέραιος. Άρα 2017^2=64l+1 και 2017^4=128k+1, όπου k,l ακέραιοι. Υψώνοντας στην 48, παίρνουμε ότι 2017^{192} \equiv 1 \mod 128.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 593
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Υπόλοιπο !

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τρί Ιαν 10, 2017 6:37 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι 2017=32m +1, όπου m ακέραιος. Άρα 2017^2=64l+1 και 2017^4=128k+1, όπου k,l ακέραιοι. Υψώνοντας στην 48, παίρνουμε ότι 2017^{192} \equiv 1 \mod 128.
Ωραία! Εγώ φτιάχνοντας την άσκηση είχα υπόψη το θεώρημα Euler.


Bye :')
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης