Διοφαντική 2!

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 590
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Διοφαντική 2!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Σάβ Ιαν 07, 2017 10:37 am

Να βρείτε όλες τις τριάδες (m,n,p), όπου m,n φυσικοί και p πρώτος που ικανοποιούν την εξίσωση: p^n-1=m^6
Θ.Αριθμών Juniors


Bye :')
Λέξεις Κλειδιά:
δύναμη
διοφαντική
πρώτος
Κορυφή
harrisp
Δημοσιεύσεις: 546
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Διοφαντική 2!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Σάβ Ιαν 07, 2017 11:06 am

Λίγο γρήγορα που την βλέπω. Πάμε το 1 στο άλλο μέλος και εφαρμόζουμε το θεωρημα Zsigmondy. Αφου m^6=2^3 δεν μπορεί να ισχύει δεν εχουμε λυσεις.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 590
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Διοφαντική 2!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Σάβ Ιαν 07, 2017 11:11 am

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Λίγο γρήγορα που την βλέπω. Πάμε το 1 στο άλλο μέλος και εφαρμόζουμε το θεωρημα Zsigmondy. Αφου m^6=2^3 δεν μπορεί να ισχύει δεν εχουμε λυσεις.
Έχουμε λύσεις... :D


Bye :')
Κορυφή
harrisp
Δημοσιεύσεις: 546
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Διοφαντική 2!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Σάβ Ιαν 07, 2017 11:15 am

Σωστά! Ξέχασα την m=1 οπου παίρνουμε p=2,n=1


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 590
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Διοφαντική 2!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Σάβ Ιαν 07, 2017 11:16 am

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Σωστά! Ξέχασα την m=1 οπου παίρνουμε p=2,n=1
Έχουμε και άλλες λύσεις και επιπλέον θέλουν δικαιολόγηση...


Bye :')
Κορυφή
harrisp
Δημοσιεύσεις: 546
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Διοφαντική 2!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Σάβ Ιαν 07, 2017 11:21 am

JimNt. έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Σωστά! Ξέχασα την m=1 οπου παίρνουμε p=2,n=1
Έχουμε και άλλες λύσεις και επιπλέον θέλουν δικαιολόγηση...

Δημήτρη οποίος βιάζεται σκοντάφτει. :wallbash:

Θα επανέλθω...


Κορυφή
harrisp
Δημοσιεύσεις: 546
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Διοφαντική 2!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Σάβ Ιαν 07, 2017 11:59 am

Απο οτι βλέπω αυτη ειναι η μοναδική λυση τελικά.

Να θέσω και ενα ερώτημα αν και δεν ειμαι σίγουρος αν ειναι καλο ή τετριμμενο :!:

Να λύσετε την ίδια αν p θέτικος ακέραιος.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 590
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Διοφαντική 2!

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Σάβ Ιαν 07, 2017 12:55 pm

JimNt. έγραψε:Να βρείτε όλες τις τριάδες (m,n,p), όπου m,n φυσικοί και p πρώτος που ικανοποιούν την εξίσωση: p^n-1=m^6
Θ.Αριθμών Juniors
Για n=0, έχουμε τις τριάδες (p,n,m)=(q,0,0), όπου q οποιοσδήποτε πρώτος... H αρχική ιδέα του προβλήματος ήταν ο λύτης να φέρει την εξίσωση στην μορφή p^n=(m^2+1)(m^4-m^2+1) και να παρατηρήσει ότι αφού (m^2+1,m^4-m^2+1)=1, προκύπτει η περιπτωση:

m^2+1=p^n m^4-m^2+1=1......


Bye :')
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 590
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Διοφαντική 2!

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Σάβ Ιαν 07, 2017 1:30 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Απο οτι βλέπω αυτη ειναι η μοναδική λυση τελικά.

Να θέσω και ενα ερώτημα αν και δεν ειμαι σίγουρος αν ειναι καλο ή τετριμμενο :!:

Να λύσετε την ίδια αν p θέτικος ακέραιος.
p^n=m^6+1. Πρέπει p^n-m^6=1 όμως αν n>1 από Catalan παίρνουμε άτοπο. Συνεπώς, οι λύσεις (p,n,m)=(k^6+1,1,k).


Bye :')
Κορυφή
harrisp
Δημοσιεύσεις: 546
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Διοφαντική 2!

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Σάβ Ιαν 07, 2017 1:50 pm

Σωστά και εγω ετσι το είχα σκεφτεί.


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες