Τέμνονται πάνω στον κύκλο...

[socrates]

Οι κύκλοι κέντρου και κέντρου εφάπτονται εξωτερικά στο Ένας τρίτος κύκλος, ο που περιέχει στο εσωτερικό του τους και εφάπτεται στον και στον στα σημεία και αντίστοιχα. Η ευθεία προεκτεινόμενη τέμνει τον στο .
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και τέμνονται πάνω στον .

[rek2]

Ας την δούμε με γεωμετρία Α λυκείου, αφού έτσι μου βγαίνει καλύτερα.

Ας είναι το κέντρο του κύκλου , το σημείο που η τέμνει τον κύκλο , και το κέντρο του κύκλου το οποίο, ως γνωστό και άμεσα φανερό, είναι το σημείο τομής των τριών κοινών εφαπτόμενων των τριών κύκλων λαμβανομένων ανά δύο.
Από τον κύκλο αυτό προκύπτει ότι η γωνία είναι διπλάσια της γωνίας .

Φανερά, ακόμη, η γωνία είναι ίση με την Έτσι έχουμε, άμεσα, τις ισότητες γωνιών:



Επομένως τα ισοσκελή τρίγωνα και θα έχουν ίσες τις αντίστοιχες γωνίες τους, οπότε , που σημαίνει ότι τα σημεία είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έπεται.