Διανύσματα και ... Γεωμετρία!
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2
- Lymperis Karras
- Δημοσιεύσεις: 170
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 06, 2020 5:16 pm
Διανύσματα και ... Γεωμετρία!
Σε ένα επίπεδο δίνονται τα σημεία , . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου με την ιδιότητα , όπου δοθείς θετικός αριθμός.
Hint:
Hint:
Ένας μαθηματικός χρειάζεται μολύβι, γόμα και μεγάλο καλάθι αχρήστων.
-Hilbert
-Hilbert
Λέξεις Κλειδιά:
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Διανύσματα και ... Γεωμετρία!
Καλησπέρα σε όλους.
Αρχικά προσαρμόζω τα σημεία σε κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων.
Έστω τα σταθερά σημεία , με και το μεταβλητό σημείο .
Οπότε, ο Γ.Τ. του είναι κύκλος με κέντρο και ακτίνα
Γενικεύοντας για τυχαία στο επίπεδο, ο γεωμετρικός τόπος του είναι ο κύκλος με κέντρο σημείο ώστε και με ακτίνα .
Απόδειξη:
Έστω τυχαία σταθερά σημεία στο επίπεδο, και σημείο ώστε
Τότε
, σταθερό, οπότε το βρίσκεται σε κύκλο με κέντρο το σημείο και με ακτίνα .
Αρχικά προσαρμόζω τα σημεία σε κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων.
Έστω τα σταθερά σημεία , με και το μεταβλητό σημείο .
Οπότε, ο Γ.Τ. του είναι κύκλος με κέντρο και ακτίνα
Γενικεύοντας για τυχαία στο επίπεδο, ο γεωμετρικός τόπος του είναι ο κύκλος με κέντρο σημείο ώστε και με ακτίνα .
Απόδειξη:
Έστω τυχαία σταθερά σημεία στο επίπεδο, και σημείο ώστε
Τότε
, σταθερό, οπότε το βρίσκεται σε κύκλο με κέντρο το σημείο και με ακτίνα .
Re: Διανύσματα και ... Γεωμετρία!
Θεωρώ Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με αρχή το και οριζόντιο άξονα την ευθεία , έστω δε . Ας είναι και .
Για κάθε σημείο δίδεται ότι : Αλλά ,
Οπότε η γράφεται: και παριστάνει
κύκλο κέντρου κι ακτίνας
Παρατήρηση
Στο σχήμα έχουν επιλεγεί , και προέκυψαν :
Για κάθε σημείο δίδεται ότι : Αλλά ,
Οπότε η γράφεται: και παριστάνει
κύκλο κέντρου κι ακτίνας
Παρατήρηση
Στο σχήμα έχουν επιλεγεί , και προέκυψαν :
Re: Διανύσματα και ... Γεωμετρία!
Με το πλεονέκτημα ότι ξέρω την απάντηση μπορώ να δώσω αβίαστα και αμιγώς διανυσματική λύση
Έστω σημείο στην προς το προέκταση του με .
Ισοδύναμα τώρα έχω:
ή
δηλαδή: .
Το είναι σταθερό κι αν θα προκύψει:
Δηλαδή κύκλος με κέντρο το σταθερό σημείο κι ακτίνα ,
Έστω σημείο στην προς το προέκταση του με .
Ισοδύναμα τώρα έχω:
ή
δηλαδή: .
Το είναι σταθερό κι αν θα προκύψει:
Δηλαδή κύκλος με κέντρο το σταθερό σημείο κι ακτίνα ,
- Lymperis Karras
- Δημοσιεύσεις: 170
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 06, 2020 5:16 pm
Re: Διανύσματα και ... Γεωμετρία!
Καλημέρα σε όλους. Να και άλλη μια λύση χωρίς την χρήση του συστήματος συντεταγμένων.
Μετά από πράξεις (με συμπλήρωση τετραγώνου) έχουμε:
, με
Έστω το μέσον της .
Τότε
Φέρνουμε το συμμετρικό του ως προς το (έστω ).
Θα έχουμε λοιπόν
Οπότε αντικαθιστώντας παίρνουμε πως το κινείται σε σταθερό κύκλο κέντρου και ακτίνας
Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να πούμε ότι με μέσον της .
Τότε θα ήταν:
Οπότε το κινείται σε κύκλο κέντρου και ακτίνας , και τώρα μπορούμε να προσδιορίσουμε την θέση του σημείου ,το
οποίο θα βρίσκεται σε απόσταση από το , στην προέκταση της .
Ευχαριστώ πολύ για την ενασχόλησή σας με το θέμα.
Μετά από πράξεις (με συμπλήρωση τετραγώνου) έχουμε:
, με
Έστω το μέσον της .
Τότε
Φέρνουμε το συμμετρικό του ως προς το (έστω ).
Θα έχουμε λοιπόν
Οπότε αντικαθιστώντας παίρνουμε πως το κινείται σε σταθερό κύκλο κέντρου και ακτίνας
Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να πούμε ότι με μέσον της .
Τότε θα ήταν:
Οπότε το κινείται σε κύκλο κέντρου και ακτίνας , και τώρα μπορούμε να προσδιορίσουμε την θέση του σημείου ,το
οποίο θα βρίσκεται σε απόσταση από το , στην προέκταση της .
Ευχαριστώ πολύ για την ενασχόλησή σας με το θέμα.
- Συνημμένα
-
- Locus Explained.png (44.17 KiB) Προβλήθηκε 761 φορές
Ένας μαθηματικός χρειάζεται μολύβι, γόμα και μεγάλο καλάθι αχρήστων.
-Hilbert
-Hilbert
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες