Δυνατή άσκηση

[Lymperis Karras]

Έστω ισοσκελές τρίγωνο, με το μέσον της και το ίχνος του ύψους από την κορυφή στην . Ο κύκλος που περνά από τα τέμνει την στο σημείο . Αν , να εκφραστεί η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του συναρτήσει του
.

[george visvikis]

Έστω ισοσκελές τρίγωνο, με το μέσον της και το ίχνος του ύψους από την κορυφή στην . Ο κύκλος που περνά από τα τέμνει την στο σημείο . Αν , να εκφραστεί η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του συναρτήσει του
.

Ωραία άσκηση!


Έστω το μέσο του Το περίκεντρο του είναι το σημείο τομής της με τη μεσοκάθετο του

Επειδή η είναι μεσοκάθετος των θα είναι και Αλλά, η διχοτομεί

τη γωνία οπότε δηλαδή το είναι το περίκεντρο του

Δυνατή άσκηση.png (24.48 KiB) Προβλήθηκε 982 φορές

Αν λοιπόν είναι το αντιδιαμετρικό του ως προς αυτό τον κύκλο, τότε επειδή τα σημεία

θα είναι συνευθειακά. Άρα είναι το βαρύκεντρο του οπότε

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Έστω ισοσκελές τρίγωνο, με το μέσον της και το ίχνος του ύψους από την κορυφή στην . Ο κύκλος που περνά από τα τέμνει την στο σημείο . Αν , να εκφραστεί η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του συναρτήσει του
.

Λόγω της μεσοκαθέτου είναι

Από Πτολεμαίο στο έχουμε

ακτίνα.png (21.61 KiB) Προβλήθηκε 959 φορές

[Lymperis Karras]

Πραγματικά, και οι δύο λύσεις με εντυπωσίασαν. ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ, διότι αυτή η άσκηση ήταν δύσκολη, αλλά ταυτόχρονα και πολύ όμορφη, με πολλές διαφορετικές λύσεις! Θα επιχειρήσω κάτι διαφορετικό, αν και το πήγαινα προς την λύση του κ, Βισβίκη.

[silouan]

Μπορείτε να δείτε εδώ για άλλες λύσεις. Είναι το δεύτερο θέμα της JBMO 2004.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 344p101576