Άσκηση-Διαμάντι v2

Lymperis Karras · #1

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ABC

$(\widehat{A}=90^{\circ})$ , με το επιπλέον δεδομένο ότι η διχοτόμος

ισούται με την

. Να αποδειχθεί ότι $BC^{2}=2CD^{2}$ .

STOPJOHN · #2

Lymperis Karras έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 27, 2021 12:47 pm
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $(\widehat{A}=90^{\circ})$ , με το επιπλέον δεδομένο ότι η διχοτόμος ισούται με την . Να αποδειχθεί ότι $BC^{2}=2CD^{2}$ .

Από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου $\large BD=\dfrac{ac}{c+b},CD=\dfrac{ab}{c+b}\Leftrightarrow 2DC^{2}=\dfrac{2a^{2}b^{2}}{(c+b)^{2}},(1)$
Αρκεί να αποδειχθεί ότι $\large \dfrac{2a^{2}b^{2}}{(c+b)^{2}}=a^{2}\Leftrightarrow b^{2}=c^{2}+2cb,(*)$

Από το τύπο της διχοτόμου

$\large \delta _{a}^{2}=bc\dfrac{(b+c)^{2}-a^{^{2}}}{(c+b)^{2}}\Rightarrow c^{2}=bc.\dfrac{2bc}{(c+b)^{2}}\Leftrightarrow b^{2}=c^{2}+2bc$ και τέλος

Δευτερη λύση

Εστω $\large B\Theta //AD\Rightarrow A\Theta =AB=AD=c,\dfrac{AD}{B\Theta }=\dfrac{DC}{BC}\Rightarrow \dfrac{DC}{a}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2CD^{2}=a^{2}$

Tρίτη λύση

Εστω $\large DE//AB,AB=AD=c,AE=ED=\dfrac{c\sqrt{2}}{2},$ Θα αποδειχθεί ότι

$\large \dfrac{CD}{BC}=\dfrac{\sqrt{2}}{2},$

$\large \dfrac{CD}{CB}=\dfrac{EC}{AC}=\dfrac{ED}{AB}=\dfrac{c\sqrt{2}}{2c}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

#3

Lymperis Karras έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 27, 2021 12:47 pm
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $(\widehat{A}=90^{\circ})$ , με το επιπλέον δεδομένο ότι η διχοτόμος ισούται με την . Να αποδειχθεί ότι $BC^{2}=2CD^{2}$ .

Νόμος συνημιτόνου στο ADC:

: Διαμάντι-2.png (8.37 KiB) Προβλήθηκε 1127 φορές

$\displaystyle D{C^2} = {b^2} + {c^2} - bc\sqrt 2 = {a^2} - aAM\sqrt 2 \Leftrightarrow {({a^2} - D{C^2})^2} = 2{a^2}A{M^2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle {({a^2} - D{C^2})^2} = 2{a^2}BM \cdot MC = 2{a^2}\frac{{a - DC}}{2} \cdot \frac{{a + DC}}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}({a^2} - D{C^2}) \Leftrightarrow$

$\displaystyle {a^2} - D{C^2} = \frac{{{a^2}}}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{BC^2=2DC^2}$

#4

Νόμος ημιτόνων στο ADC:

: Διαμάντι-2.β.png (8.56 KiB) Προβλήθηκε 1119 φορές

$\displaystyle \frac{{DC}}{c} = \frac{{\sin 45^\circ }}{{\sin C}} = \frac{{1/\sqrt 2 }}{{c/a}} \Leftrightarrow$ $\boxed{a^2=2DC^2}$

KARKAR · #5

: Διαμάντι 2.png (7.23 KiB) Προβλήθηκε 1112 φορές

Αρκεί : $\dfrac{BD}{DC}=\sqrt{2}-1$ , που ισχύει αφού : $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{c}{b}=\tan22.5^0=\sqrt{2}-1$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Lymperis Karras έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 27, 2021 12:47 pm
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $(\widehat{A}=90^{\circ})$ , με το επιπλέον δεδομένο ότι η διχοτόμος ισούται με την . Να αποδειχθεί ότι $BC^{2}=2CD^{2}$ .

Με $BA=AE \Rightarrow EC=BC$ και $ED \bot BC$ .Λόγω της διχοτόμου είναι $\angle x= \angle y$ .

Άρα Με Π.Θ στο τρίγωνο EDC

είναι $EC^2=2DC^2 \Rightarrow BC^2=2DC^2$

: a.d.png (11.01 KiB) Προβλήθηκε 1096 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #7

Καλό βράδυ σε όλους , κι' ένα ζεστό

στον νεαρό Λυμπέρη!

Παραλλαγή με χρήση των τύπων: Έχουμε $c=AD=\dfrac{bc\sqrt{2}}{b+c}\Rightarrow b+c=b\sqrt{2}$ οπότε $CD=\dfrac{ab}{b+c}=\dfrac{ab}{b\sqrt{2}}\Rightarrow a^{2}=2CD^{2}$

Φιλικά, Γιώργος.

S.E.Louridas · #8

Ας δούμε και αυτό:

Lymperis Karras · #9

Καλημέρα σε όλους.
Σας ευχαριστώ πολύ που ασχοληθήκατε με το θέμα και δόθηκαν τόσες πολλές διαφορετικές απαντήσεις. Θα παραθέσω κι εγώ την δική μου λύση στο πρόβλημα. Διέθετα 3 λύσεις αρχικά, ωστόσο οι 2 καλύφθηκαν πλήρως από τους ασχοληθέντες με το θέμα.
Φέρνουμε την κάθετη

από το

προς την πλευρά

. Από λόγο ομοιότητας στα τρίγωνα $\triangle ABC ,\triangle DEC$ έχουμε:
$\frac{CD}{BC}=\frac{DE}{AB}=\frac{DE}{AD}=cosin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow BC^{2}=2CD^{2}$ τέλος.

EDIT: Ταυτόχρονα ο κ. Σταμματογιάννης έγραφε την δική του λύση που ήταν ίδια με την δικιά μου. Εν πάσει περιπτώσει και πάλι ευχαριστώ για την ενασχόλησή σας με το θέμα

Άσκηση-Διαμάντι v2

Άσκηση-Διαμάντι v2

Re: Άσκηση-Διαμάντι v2

Re: Άσκηση-Διαμάντι v2

Re: Άσκηση-Διαμάντι v2

Re: Άσκηση-Διαμάντι v2

Re: Άσκηση-Διαμάντι v2

Re: Άσκηση-Διαμάντι v2

Re: Άσκηση-Διαμάντι v2

Re: Άσκηση-Διαμάντι v2

Μέλη σε σύνδεση