Για δυνατούς λύτες!

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Lymperis Karras
Δημοσιεύσεις: 118
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 06, 2020 5:16 pm

Για δυνατούς λύτες!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Lymperis Karras » Πέμ Μαρ 18, 2021 2:22 pm

Δίνεται κύκλος C(O,R), η διάμετρός του AB και το μέσον \Gamma του τόξου AB. Γράφουμε κύκλο c_{1}(K,KO)(με ακτίνα KO<R)(το K βρίσκεται επί της AB). Θεωρούμε τις εφαπτομένες \Gamma \Delta, \Gamma O από το σημείο \Gamma προς τον κύκλο c_{1}(K,KO). Η ευθεία K\Delta τέμνει τον κύκλο C(O,R) στα σημεία E και Z (το E βρίσκεται στο ημικύκλιο που ανήκει το \Gamma). Τέλος, οι ευθείες E\Gamma και \Gamma Z τέμνουν την AB στα N και M αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο EMZN είναι ισοσκελές τραπέζιο εγγεγραμμένο σε κύκλο, του οποίου το κέντρο βρίσκεται στην περιφέρεια του κύκλου C(O,R).

Μία άσκηση που μου άρεσε πολύ, και θα ήθελα να την μοιραστώ με λύτες μικρούς και μεγάλους!


Ένας μαθηματικός χρειάζεται μολύβι, γόμα και μεγάλο καλάθι αχρήστων.
-Hilbert

Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2099
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Για δυνατούς λύτες!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Μαρ 19, 2021 11:08 am

Lymperis Karras έγραψε:
Πέμ Μαρ 18, 2021 2:22 pm
Δίνεται κύκλος C(O,R), η διάμετρός του AB και το μέσον \Gamma του τόξου AB. Γράφουμε κύκλο c_{1}(K,KO)(με ακτίνα KO<R)(το K βρίσκεται επί της AB). Θεωρούμε τις εφαπτομένες \Gamma \Delta, \Gamma O από το σημείο \Gamma προς τον κύκλο c_{1}(K,KO). Η ευθεία K\Delta τέμνει τον κύκλο C(O,R) στα σημεία E και Z (το E βρίσκεται στο ημικύκλιο που ανήκει το \Gamma). Τέλος, οι ευθείες E\Gamma και \Gamma Z τέμνουν την AB στα N και M αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο EMZN είναι ισοσκελές τραπέζιο εγγεγραμμένο σε κύκλο, του οποίου το κέντρο βρίσκεται στην περιφέρεια του κύκλου C(O,R).

Μία άσκηση που μου άρεσε πολύ, και θα ήθελα να την μοιραστώ με λύτες μικρούς και μεγάλους!
Kαλημέρα

Για το πρώτο ερώτημα

Είναι \Delta \Gamma =O\Gamma =R,K\Theta \perp O\Delta \Rightarrow\Theta \Delta =\Theta O,SL=LX,L\Delta =OX

Το τετράπλευρο \Delta OXL είναι ορθογώνιο και το τετράπλευρο \Delta OZN
είναι ισοσκελές τράπέζιο εφόσον \Delta I=IO,IP\perp NZ Συνεπώς τα τρίγωνα N\Delta \Gamma ,OZ\Gamma είναι ίσα,γιατί ND=\Delta \Gamma =OZ=O\Gamma ,\hat{N\Delta \Gamma }=\hat{ZO\Gamma }, Οπότε N\Gamma =Z\Gamma ,\hat{E\Gamma \Omega }=\hat{\Omega \Gamma M},E\Gamma =M\Gamma ,EM//NZ,NE=MZ

Το δευτερο ερώτημα το απόγευμα ,εκτός και αν απαντηθεί

Δεύτερο ερώτημα

Εστω ότι η ευθεία \Gamma K τέμνει τον κύκλο (O,R) στο σημείο \Xi Θα αποδειχθεί ότι το σημείο \Xi είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου στο ισοσκελές τραπέζιο
ENZM. Τα τρίγωνα PEN,PMZ είναι ίσα γιατι έχουν και τις τρεις πλευρές ίσες μια προς μία θα δειχθεί ότι είναι ισοσκελή δηλαδή \Xi E=PN,PM=PZ . Απο το εγγεγραμμένο τετράπλευρο EPZ\Gamma είναι \hat{NEP}=\hat{PZM}\Rightarrow \hat{\Xi NE}=\hat{NE\Xi }
Αρα \Xi E=\Xi N=\Xi M=\Xi Z
Συνημμένα
Ασκηση για δυνατούς λύτες  ,δευτερο ερώτημα.png
Ασκηση για δυνατούς λύτες ,δευτερο ερώτημα.png (81.76 KiB) Προβλήθηκε 357 φορές
Aσκηση για δυνατούς λύτες.png
Aσκηση για δυνατούς λύτες.png (105.13 KiB) Προβλήθηκε 433 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Lymperis Karras
Δημοσιεύσεις: 118
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 06, 2020 5:16 pm

Re: Άσκηση για δυνατούς λύτες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Lymperis Karras » Σάβ Μαρ 20, 2021 10:16 pm

Αρχικά, εύκολα βλέπουμε πως τα τρίγωνα \Gamma \Delta K και \Gamma KO είναι ίσα. Έχουμε
\widehat{\eta } = \frac{180^{\circ}-\widehat{\Gamma OZ}}{2} = \frac{180^{\circ}-2\widehat{\Gamma EZ}}{2}=90^{\circ}-\widehat{\Gamma EZ}=\widehat{E\Gamma \Delta }
Άρα, \triangle \Gamma KN=\triangle \Gamma KE.
Με ΓΠΓ έχουμε άμεσα πως τα τρίγωνα \Gamma KZ,\Gamma KM είναι ίσα.
Άρα, \Gamma Z=\Gamma M, και άμεσα προκύπτει ότι ME=NZ.
Θεωρούμε σημείο F την τομή της προέκτασης της \Gamma K με τον κύκλο C.
Επιπλέον, έχουμε ότι \Gamma F μεσοκάθετος του EN λόγω \Gamma E= \Gamma N, KE=KN. Αλλά και τα τρίγωνα KNF,KFE είναι ίσα, οπότε EF=FN.
Έχουμε λοιπόν EF=FN,\widehat{FNZ}=\widehat{FEM},ME=NZ, άρα FZ=FM.
\Gamma M=\Gamma Z, MF=FZ \Rightarrow \Gamma F μεσοκάθετος του MZ.
Από όλα τα παραπάνω έχουμε ότι το EMZN είναι ισοσκελές τραπέζιο.
Θα δείξουμε ότι το F είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του.
Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο \Gamma EFZ έχουμε \widehat{EZF}=\widehat{E\Gamma F}, \widehat{FEZ}=\widehat{F\Gamma Z}=\widehat{E\Gamma F}\Rightarrow \widehat{EZF}=\widehat{FEZ}\Rightarrow FZ=FE=FM=FN.
Άρα, το F ισαπέχει από τις κορυφές του τετραπλεύρου EMZN, άρα είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του.
Συνημμένα
Screenshot 2021-03-18 165513.png
Screenshot 2021-03-18 165513.png (76.87 KiB) Προβλήθηκε 328 φορές


Ένας μαθηματικός χρειάζεται μολύβι, γόμα και μεγάλο καλάθι αχρήστων.
-Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης