Για δυνατούς λύτες!

Lymperis Karras · #1

Δίνεται κύκλος C(O,R)

, η διάμετρός του

και το μέσον $\Gamma$ του τόξου

. Γράφουμε κύκλο $c_{1}(K,KO)$ (με ακτίνα KO<R

)(το

βρίσκεται επί της

). Θεωρούμε τις εφαπτομένες $\Gamma \Delta, \Gamma O$ από το σημείο $\Gamma$ προς τον κύκλο $c_{1}(K,KO)$ . Η ευθεία $K\Delta$ τέμνει τον κύκλο C(O,R)

στα σημεία

και

(το

βρίσκεται στο ημικύκλιο που ανήκει το $\Gamma$ ). Τέλος, οι ευθείες $E\Gamma$ και $\Gamma Z$ τέμνουν την

στα

και

αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο EMZN

είναι ισοσκελές τραπέζιο εγγεγραμμένο σε κύκλο, του οποίου το κέντρο βρίσκεται στην περιφέρεια του κύκλου C(O,R)

.

Μία άσκηση που μου άρεσε πολύ, και θα ήθελα να την μοιραστώ με λύτες μικρούς και μεγάλους!

STOPJOHN · #2

Lymperis Karras έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 18, 2021 2:22 pm
Δίνεται κύκλος , η διάμετρός του και το μέσον $\Gamma$ του τόξου . Γράφουμε κύκλο $c_{1}(K,KO)$ (με ακτίνα )(το βρίσκεται επί της ). Θεωρούμε τις εφαπτομένες $\Gamma \Delta, \Gamma O$ από το σημείο $\Gamma$ προς τον κύκλο $c_{1}(K,KO)$ . Η ευθεία $K\Delta$ τέμνει τον κύκλο στα σημεία και (το βρίσκεται στο ημικύκλιο που ανήκει το $\Gamma$ ). Τέλος, οι ευθείες $E\Gamma$ και $\Gamma Z$ τέμνουν την στα και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο εγγεγραμμένο σε κύκλο, του οποίου το κέντρο βρίσκεται στην περιφέρεια του κύκλου .

Μία άσκηση που μου άρεσε πολύ, και θα ήθελα να την μοιραστώ με λύτες μικρούς και μεγάλους!

Kαλημέρα

Για το πρώτο ερώτημα

Είναι $\Delta \Gamma =O\Gamma =R$ , $K\Theta \perp O\Delta \Rightarrow\Theta \Delta =\Theta O,SL=LX,L\Delta =OX$

Το τετράπλευρο $\Delta OXL$ είναι ορθογώνιο και το τετράπλευρο $\Delta OZN$
είναι ισοσκελές τράπέζιο εφόσον $\Delta I=IO,IP\perp NZ$ Συνεπώς τα τρίγωνα $N\Delta \Gamma ,OZ\Gamma$ είναι ίσα,γιατί $ND=\Delta \Gamma =OZ=O\Gamma ,\hat{N\Delta \Gamma }=\hat{ZO\Gamma },$ Οπότε $N\Gamma =Z\Gamma ,\hat{E\Gamma \Omega }=\hat{\Omega \Gamma M},E\Gamma =M\Gamma ,EM//NZ,NE=MZ$

Το δευτερο ερώτημα το απόγευμα ,εκτός και αν απαντηθεί

Δεύτερο ερώτημα

Εστω ότι η ευθεία $\Gamma K$ τέμνει τον κύκλο (O,R)

στο σημείο $\Xi$ Θα αποδειχθεί ότι το σημείο $\Xi$ είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου στο ισοσκελές τραπέζιο
ENZM

. Τα τρίγωνα PEN,PMZ

είναι ίσα γιατι έχουν και τις τρεις πλευρές ίσες μια προς μία θα δειχθεί ότι είναι ισοσκελή δηλαδή $\Xi E=PN,PM=PZ$ . Απο το εγγεγραμμένο τετράπλευρο $EPZ\Gamma$ είναι $\hat{NEP}=\hat{PZM}\Rightarrow \hat{\Xi NE}=\hat{NE\Xi }$
Αρα $\Xi E=\Xi N=\Xi M=\Xi Z$

Lymperis Karras · #3

Αρχικά, εύκολα βλέπουμε πως τα τρίγωνα $\Gamma \Delta K$ και $\Gamma KO$ είναι ίσα. Έχουμε
$\widehat{\eta } = \frac{180^{\circ}-\widehat{\Gamma OZ}}{2} = \frac{180^{\circ}-2\widehat{\Gamma EZ}}{2}=90^{\circ}-\widehat{\Gamma EZ}=\widehat{E\Gamma \Delta }$
Άρα, $\triangle \Gamma KN=\triangle \Gamma KE$ .
Με ΓΠΓ έχουμε άμεσα πως τα τρίγωνα $\Gamma KZ,\Gamma KM$ είναι ίσα.
Άρα, $\Gamma Z=\Gamma M$ , και άμεσα προκύπτει ότι ME=NZ

.
Θεωρούμε σημείο

την τομή της προέκτασης της $\Gamma K$ με τον κύκλο

.
Επιπλέον, έχουμε ότι $\Gamma F$ μεσοκάθετος του

λόγω $\Gamma E= \Gamma N, KE=KN$ . Αλλά και τα τρίγωνα KNF,KFE

είναι ίσα, οπότε EF=FN

.
Έχουμε λοιπόν $EF=FN,\widehat{FNZ}=\widehat{FEM},ME=NZ$ , άρα FZ=FM

.
$\Gamma M=\Gamma Z, MF=FZ \Rightarrow \Gamma F$ μεσοκάθετος του

.
Από όλα τα παραπάνω έχουμε ότι το EMZN

είναι ισοσκελές τραπέζιο.
Θα δείξουμε ότι το

είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του.
Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο $\Gamma EFZ$ έχουμε $\widehat{EZF}=\widehat{E\Gamma F}, \widehat{FEZ}=\widehat{F\Gamma Z}=\widehat{E\Gamma F}\Rightarrow \widehat{EZF}=\widehat{FEZ}\Rightarrow FZ=FE=FM=FN$ .
Άρα, το

ισαπέχει από τις κορυφές του τετραπλεύρου EMZN

, άρα είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του.

Για δυνατούς λύτες!

Για δυνατούς λύτες!

Re: Για δυνατούς λύτες!

Re: Άσκηση για δυνατούς λύτες

Μέλη σε σύνδεση