J-526 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 973
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

J-526 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Τετ Σεπ 16, 2020 7:27 am

Σας προτείνω το θέμα J-526 από το τέταρτο τεύχος των Mathematical Reflections του 2020. Το θέμα πρότεινε ο Nguyen Viet Hung, Hanoi University of Science, Vietnam. H ημερομηνία υποβολής των λύσεων ήταν η 15 Σεπτεμβρίου 2020 , η οποία παρήλθε. Έτσι μπορώ να μοιραστώ το θέμα μαζί σας χωρίς ενδοιασμούς...

Έστω τρίγωνο ABC με περίκεντρο O, έγκεντρο I και παράκεντρα I_{a},I_{b},I_{c}
Aποδείξτε ότι
OI^{2}+OI^{2}_{a}+OI^{2}_{b}+OI^{2}_{c}=12R^{2}

Το θέμα αυτό είναι μάλλον εύκολο για κάποιους έμπειρους λύτες του mathematica.
To δημοσιεύω για έναν λόγο : Να δουν κάποιοι μαθητές μερικές γνώσεις που δεν υπάρχουν στα σχολικά βιβλία των τελευταίων δεκαετιών , ούτε και στα αντίστοιχα σχολικά βοηθήματα. Αυτές οι γνώσεις υπάρχουν σε βιβλία ηλικίας άνω των 35 ετών. Νομίζω ότι αξίζει η προσπάθεια...



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1290
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: J-526 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Πέμ Σεπ 17, 2020 2:59 pm

Χρειαζόμαστε τους τύπους του Euler:
OI^2=R^2-2Rr, OI_a^2=R^2+2Rr_a, OI_b^2=R^2+2Rr_b, OI_c^2=R^2+2Rr_c και τον τύπο r_a+r_b+r_c-r=4R.
Προσθέτοντας παίρνουμε το ζητούμενο.

Τους τύπους του Euler τους έχουμε δει σε διάφορα μέρη εδώ στο :logo: . Για την r_a+r_b+r_c-r=4R, δεν ξέρω αν την έχουμε δει.
Οπότε την αφήνω προς απόδειξη εδώ.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9589
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: J-526 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Σεπ 17, 2020 4:03 pm

Να σημειώσω απλώς ότι η η άσκηση υπάρχει στο βιβλίο
Γεωμετρία του Γιάννη Ντάνη στη σελίδα 258, ως 692. θεώρημα.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8488
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: J-526 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Σεπ 17, 2020 4:15 pm

Ας το δούμε και αυτό τότε.

Από τους γνωστούς τύπους E = sr = (s-a)r_a = (s-b)r_b = (s-c)r_c όπου E το εμβαδόν και s η ημιπερίμετρος, αρκεί να δείξουμε ότι

\displaystyle  \frac{1}{s-a} + \frac{1}{s-b} + \frac{1}{s-c} - \frac{1}{s} = \frac{4R}{E} = \frac{abc}{E^2}

Χρησιμοποιήσαμε επίσης τον τύπο E = \frac{abc}{4R}. Κάνοντας ομώνυμα στο αριστερό μέλος και χρησιμοποιώντας τον τύπο του Ήρωνα μένει να δείξουμε ότι

\displaystyle  s(s-b)(s-c) + s(s-c)(s-a) + s(s-a)(s-b) - (s-a)(s-b)(s-c) = abc

Αναπτύσσοντας το αριστερό μέλος ως πολυώνυμο του s αρκεί να δείξουμε ότι

\displaystyle  2s^3 - (a+b+c)s^2 + 0s + abc = abc

Αυτό είναι άμεσο αφού a+b+c=2s.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης