Σταθερή απόσταση

[KARKAR]

Σταθερή απόσταση.png (18.17 KiB) Προβλήθηκε 1276 φορές

Σε κύκλο , θεωρούμε χορδή με απόστημα και μέσο . Γράφουμε το εντός του κύκλου

ημικύκλιο διαμέτρου . Σημείο κινείται στο μεγάλο τόξο του κύκλου , ώστε οι

να τέμνουν το ημικύκλιο στα σημεία αντίστοιχα . Αν η διχοτόμος της , τέμνει το ύψος

στο σημείο , δείξτε ότι το άθροισμα παραμένει σταθερό .

[Doloros]

Σταθερή απόσταση_αθροιστικά.png (39.32 KiB) Προβλήθηκε 1242 φορές

Έστω το σημείο τομής των που προφανώς είναι το ορθόκεντρο του .

Ο κύκλος που διέρχεται από τα είναι ο κύκλος του και περνά από το μέσο του

και αφού έχει διάμετρο το αυτό είναι διχοτόμος της .

Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο και έτσι

σταθερό

[p_gianno]

stathero athroisma tmimatwn.png (51.88 KiB) Προβλήθηκε 1191 φορές

ύψη του τριγώνου και



συνεπώς (στο μέτρο)

εγγράψιμμο συνεπώς διάμετρος του περιγγεγραμμένου κύκλου . Το κέντρο του βρίσκεται πάνω στην μεσοκάθετο της χορδής αλλά και στην διάμετρό του. Συνεπώς το κέντρο του
συνεπώς .
Ο είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος και του τριγώνου και έχει σταθερή ακτίνα επειδή και . Συνεπώς (1)
Επίσης το τετράπλευρο παραμένει σταθερό ως πρός το μέγεθός του αφού και οι πλευρές και οι γωνίες του είναι σταθερές ως προς το μέτρο τους για τις διάφορες θέσεις του συμπεραίνουμε επομένως ότι (2)
Από 1 και 2 έπεται το ζητούμενο.