Αξιόλογη παραλληλία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Αξιόλογη παραλληλία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μαρ 20, 2020 1:12 pm

Αξιόλογη παραλληλία.png
Αξιόλογη παραλληλία.png (13 KiB) Προβλήθηκε 594 φορές
D είναι τυχαίο σημείο της πλευράς BC τριγώνου ABC και O, K, L είναι τα περίκεντρα των τριγώνων

ABC, ABD, ACD αντίστοιχα. Αν P είναι το ορθόκεντρο του DKL, να δείξετε ότιPO||BC.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 843
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Αξιόλογη παραλληλία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Μαρ 20, 2020 2:21 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Μαρ 20, 2020 1:12 pm
Αξιόλογη παραλληλία.png
D είναι τυχαίο σημείο της πλευράς BC τριγώνου ABC και O, K, L είναι τα περίκεντρα των τριγώνων

ABC, ABD, ACD αντίστοιχα. Αν P είναι το ορθόκεντρο του DKL, να δείξετε ότιPO||BC.

Καλό μεσημέρι!

286.PNG
286.PNG (50.99 KiB) Προβλήθηκε 577 φορές
Τα K,L ανήκουν στην μεσοκάθετο του AD άρα KL\perp AD,δηλαδή P\in AD.
Είναι \angle KLP=\angle KDP=\angle KAD=90^{\circ}-\angle B άρα A,K,P,L ομοκυκλικά και \angle DKL=\angle B,ομοίως \angle KLD=\angle C και έτσι \angle KDL=\angle A.
Τα K,L ανήκουν στις μεσοκαθέτους των AB,AC αντίστοιχα άρα αν N\equiv OK\cap AB,T\equiv OL\cap AC θα είναι \angle ONA=\angle OTA=90^{\circ} από το οποίο το ANOT είναι εγγράψιμο και έτσι \angle NOT=180^{\circ}-\angle A.Επιπλέον είναι απλό ότι \Delta AKL=\Delta KLD και έτσι \angle KAL=180^{\circ}-\angle KDL=180^{\circ}-\angle A=180^{\circ}-\angle NOT=180^{\circ}-\angle KOL δηλαδή O\in \left ( A,K,P,L \right ).Έστω E\equiv AO\cap BC.
Είναι \angle AOP=\angle ALP=\angle ALK+\angle KLP=\angle C+90^{\circ}-\angle B=\angle AEB και το ζητούμενο έπεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης