Ομοκυκλικότητα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 10, 2019 9:20 am

Ομοκυκλικότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ » Τετ Μαρ 18, 2020 11:51 am

Ένα οξυγώνιο σκαληνο τρίγωνο ABC με BC<AB<AC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο C1.Επίσης το οξυγωνιο τρίγωνο ACD ,με AD<DC<ACείναι εγγεγραμμένο σε κύκλο C2.Τα ευθύγραμμα τμήματα AB,BC τέμνουν τον κύκλο C2 στα σημεία R και S αντίστοιχα και τα AD,DC τέμνουν τον C1 στα σημεία Q και P αντίστοιχα.Τέλος, αν τα QB και PB τέμνουν το τμήμα RS στα σημεία N και M αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία N,M,P,Q είναι ομοκυκλικα , δηλαδή ανήκουν στον ίδιο κύκλο.

(Πιστεύω ότι αυτό το θέμα θα μπορούσε να μπει ακόμα και στον προκριματικό σαν 1ο θέμα ,αν δε κάνω λάθος :?:)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 843
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ομοκυκλικότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Μαρ 18, 2020 12:33 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε:
Τετ Μαρ 18, 2020 11:51 am
Ένα οξυγώνιο σκαληνο τρίγωνο ABC με BC<AB<AC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο C1.Επίσης το οξυγωνιο τρίγωνο ACD ,με AD<DC<ACείναι εγγεγραμμένο σε κύκλο C2.Τα ευθύγραμμα τμήματα AB,BC τέμνουν τον κύκλο C2 στα σημεία R και S αντίστοιχα και τα AD,DC τέμνουν τον C1 στα σημεία Q και P αντίστοιχα.Τέλος, αν τα QB και PB τέμνουν το τμήμα RS στα σημεία N και M αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία N,M,P,Q είναι ομοκυκλικα , δηλαδή ανήκουν στον ίδιο κύκλο.

(Πιστεύω ότι αυτό το θέμα θα μπορούσε να μπει ακόμα και στον προκριματικό σαν 1ο θέμα ,αν δε κάνω λάθος :?:)
280.PNG
280.PNG (41.56 KiB) Προβλήθηκε 775 φορές
Γεια σου Δημήτρη :)

\angle MRB=\angle SRB\overset{C_2}{=}\angle SCA=\angle BCA\overset{C_1}{=}\angle BQA=\angle MQA άρα MARQ εγγράψιμο και BR\cdot BA=BM\cdot BQ
Όμοια SNPC εγγράψιμο και BS\cdot BC=BN\cdot BP.
Αφού τώρα BS\cdot BC=BR\cdot BA θα είναι  BM\cdot BQ=BN\cdot BP από όπου έπεται το ζητούμενο.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 10, 2019 9:20 am

Re: Ομοκυκλικότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ » Τετ Μαρ 18, 2020 1:13 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Τετ Μαρ 18, 2020 12:33 pm
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε:
Τετ Μαρ 18, 2020 11:51 am
Ένα οξυγώνιο σκαληνο τρίγωνο ABC με BC<AB<AC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο C1.Επίσης το οξυγωνιο τρίγωνο ACD ,με AD<DC<ACείναι εγγεγραμμένο σε κύκλο C2.Τα ευθύγραμμα τμήματα AB,BC τέμνουν τον κύκλο C2 στα σημεία R και S αντίστοιχα και τα AD,DC τέμνουν τον C1 στα σημεία Q και P αντίστοιχα.Τέλος, αν τα QB και PB τέμνουν το τμήμα RS στα σημεία N και M αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία N,M,P,Q είναι ομοκυκλικα , δηλαδή ανήκουν στον ίδιο κύκλο.

(Πιστεύω ότι αυτό το θέμα θα μπορούσε να μπει ακόμα και στον προκριματικό σαν 1ο θέμα ,αν δε κάνω λάθος :?:)
280.PNG

Γεια σου Δημήτρη :)

\angle MRB=\angle SRB\overset{C_2}{=}\angle SCA=\angle BCA\overset{C_1}{=}\angle BQA=\angle MQA άρα MARQ εγγράψιμο και BR\cdot BA=BM\cdot BQ
Όμοια SNPC εγγράψιμο και BS\cdot BC=BN\cdot BP.
Αφού τώρα BS\cdot BC=BR\cdot BA θα είναι  BM\cdot BQ=BN\cdot BP από όπου έπεται το ζητούμενο.
Ωραία λύση !Ωστόσο λύνεται και μόνο με angle-chasing.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ομοκυκλικότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μαρ 18, 2020 5:25 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε:
Τετ Μαρ 18, 2020 11:51 am
Ένα οξυγώνιο σκαληνο τρίγωνο ABC με BC<AB<AC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο C1.Επίσης το οξυγωνιο τρίγωνο ACD ,με AD<DC<ACείναι εγγεγραμμένο σε κύκλο C2.Τα ευθύγραμμα τμήματα AB,BC τέμνουν τον κύκλο C2 στα σημεία R και S αντίστοιχα και τα AD,DC τέμνουν τον C1 στα σημεία Q και P αντίστοιχα.Τέλος, αν τα QB και PB τέμνουν το τμήμα RS στα σημεία N και M αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία N,M,P,Q είναι ομοκυκλικα , δηλαδή ανήκουν στον ίδιο κύκλο.

(Πιστεύω ότι αυτό το θέμα θα μπορούσε να μπει ακόμα και στον προκριματικό σαν 1ο θέμα ,αν δε κάνω λάθος :?:)
Ομοκυκλικότητα.png
Ομοκυκλικότητα.png (32.94 KiB) Προβλήθηκε 712 φορές
\displaystyle B\widehat NM =  N\widehat BR + N\widehat RB = Q\widehat CA + A\widehat SC = Q\widehat CS = Q\widehat CB = Q\widehat PB = Q\widehat PM

που αποδεικνύει το ζητούμενο. (Νομίζω ότι είναι πολύ απλό για προκριματικό).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης