Συντρέχουσες ευθείες Simson

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #1

: 93.PNG (63.18 KiB) Προβλήθηκε 1310 φορές

Καλησπέρα !

Έστω ABCD

τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο.

Θεωρούμε τις ευθείες $\mathrm{Simson }$ των σημείων A,B,C,D

προς τα τρίγωνα BCD,ADC,ABD,ABC

αντίστοιχα.

Να δείξετε ότι οι ευθείες αυτές συντέχουν(έστω στο

)

Υ.Γ Ίσως να είναι γνωστή πρόταση.

min## · #2

Γενίκευση:
Έστω τετραπλευρο ABCD

.Οι ποδικοί κύκλοι οποιασδήποτε κορυφής ως προς το τρίγωνο που ορίζεται από τις άλλες 3,περνάει από το σημείο Euler-Poncelet

του τετραπλεύρου.(άρα οι 4 ποδικοί κύκλοι συντρέχουν).Το σημείο αυτό είναι το κέντρο της ισοσκελούς υπερβολής που περνάει από τα A,B,C,D

.Για απόδειξη,εδώ https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... ch#p312478 (λήμμα 2+σχόλιο στο επόμενο ποστ).
Όταν το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο,οι ποδικοί κύκλοι εκφυλίζονται στις ευθείες Simson παραπάνω..
Σημ:Μόνο θεωρητικά είναι γενίκευση.
Πρακτικά πρέπει να δειχθεί ότι ο εκφυλισμός γίνεται "συνεχώς"

min## · #3

Μια απλούστερη για το αρχικό πρόβλημα :
Πρόταση:
Αν $H_{A},H_{B},H_{C},H_{D}$ τα ορθόκεντρα των BCD,ACD,ABD,ABC

τότε τα $AH_{A},BH_{B},CH_{C},DH_{D}$ έχουν κοινό μέσο,έστω

.
Απόδειξη:Αρκεί $AH_{A}BH_{B}$ παραλληλόγραμμο (αφού θα ισχύει και για τα άλλα..).
Όμως είναι προφανώς $AH_{B}//BH_{A}$ και επιπλέον $AH_{B}=BH_{A}=2cos(\angle DAC)\cdot R$ από όπου έπεται η πρόταση.
Το αρχικό τώρα είναι προφανές,αφού για παράδειγμα η ευθεία Simson του

ως προς το ACD

διχοτομεί το $BH_{B}$ δηλαδή περνάει από το

κτλ..

Συντρέχουσες ευθείες Simson

Συντρέχουσες ευθείες Simson

Re: Συντρέχουσες ευθείες Simson

Re: Συντρέχουσες ευθείες Simson

Μέλη σε σύνδεση