Συντρέχουσες ευθείες Simson
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Συντρέχουσες ευθείες Simson
Έστω τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο.
Θεωρούμε τις ευθείες των σημείων προς τα τρίγωνα αντίστοιχα.
Να δείξετε ότι οι ευθείες αυτές συντέχουν(έστω στο )
Υ.Γ Ίσως να είναι γνωστή πρόταση.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Συντρέχουσες ευθείες Simson
Γενίκευση:
Έστω τετραπλευρο .Οι ποδικοί κύκλοι οποιασδήποτε κορυφής ως προς το τρίγωνο που ορίζεται από τις άλλες 3,περνάει από το σημείο του τετραπλεύρου.(άρα οι 4 ποδικοί κύκλοι συντρέχουν).Το σημείο αυτό είναι το κέντρο της ισοσκελούς υπερβολής που περνάει από τα .Για απόδειξη,εδώ https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... ch#p312478 (λήμμα 2+σχόλιο στο επόμενο ποστ).
Όταν το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο,οι ποδικοί κύκλοι εκφυλίζονται στις ευθείες Simson παραπάνω..
Σημ:Μόνο θεωρητικά είναι γενίκευση.
Πρακτικά πρέπει να δειχθεί ότι ο εκφυλισμός γίνεται "συνεχώς"
Έστω τετραπλευρο .Οι ποδικοί κύκλοι οποιασδήποτε κορυφής ως προς το τρίγωνο που ορίζεται από τις άλλες 3,περνάει από το σημείο του τετραπλεύρου.(άρα οι 4 ποδικοί κύκλοι συντρέχουν).Το σημείο αυτό είναι το κέντρο της ισοσκελούς υπερβολής που περνάει από τα .Για απόδειξη,εδώ https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... ch#p312478 (λήμμα 2+σχόλιο στο επόμενο ποστ).
Όταν το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο,οι ποδικοί κύκλοι εκφυλίζονται στις ευθείες Simson παραπάνω..
Σημ:Μόνο θεωρητικά είναι γενίκευση.
Πρακτικά πρέπει να δειχθεί ότι ο εκφυλισμός γίνεται "συνεχώς"
τελευταία επεξεργασία από min## σε Κυρ Φεβ 07, 2021 1:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Συντρέχουσες ευθείες Simson
Μια απλούστερη για το αρχικό πρόβλημα :
Πρόταση:
Αν τα ορθόκεντρα των τότε τα έχουν κοινό μέσο,έστω .
Απόδειξη:Αρκεί παραλληλόγραμμο (αφού θα ισχύει και για τα άλλα..).
Όμως είναι προφανώς και επιπλέον από όπου έπεται η πρόταση.
Το αρχικό τώρα είναι προφανές,αφού για παράδειγμα η ευθεία Simson του ως προς το διχοτομεί το δηλαδή περνάει από το κτλ..
Πρόταση:
Αν τα ορθόκεντρα των τότε τα έχουν κοινό μέσο,έστω .
Απόδειξη:Αρκεί παραλληλόγραμμο (αφού θα ισχύει και για τα άλλα..).
Όμως είναι προφανώς και επιπλέον από όπου έπεται η πρόταση.
Το αρχικό τώρα είναι προφανές,αφού για παράδειγμα η ευθεία Simson του ως προς το διχοτομεί το δηλαδή περνάει από το κτλ..
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες