Συντρέχουσες ευθείες Simson

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 326
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Συντρέχουσες ευθείες Simson

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Αύγ 12, 2019 7:01 pm

93.PNG
93.PNG (63.18 KiB) Προβλήθηκε 273 φορές
Καλησπέρα !

Έστω ABCD τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο.

Θεωρούμε τις ευθείες \mathrm{Simson } των σημείων A,B,C,D προς τα τρίγωνα BCD,ADC,ABD,ABC αντίστοιχα.

Να δείξετε ότι οι ευθείες αυτές συντέχουν(έστω στο S)

Υ.Γ Ίσως να είναι γνωστή πρόταση.



Λέξεις Κλειδιά:
min##
Δημοσιεύσεις: 207
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Συντρέχουσες ευθείες Simson

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Δευ Αύγ 12, 2019 7:45 pm

Γενίκευση:
Έστω τετραπλευρο ABCD.Οι ποδικοί κύκλοι οποιασδήποτε κορυφής ως προς το τρίγωνο που ορίζεται από τις άλλες 3,περνάει από το σημείο Euler-Poncelet του τετραπλεύρου.(άρα οι 4 ποδικοί κύκλοι συντρέχουν).Το σημείο αυτό είναι το κέντρο της ισοσκελούς υπερβολής που περνάει από τα A,B,C,D.Για απόδειξη,εδώ viewtopic.php?f=112&t=52805&p=312478&hi ... ch#p312478 (λήμμα 2+σχόλιο στο επόμενο ποστ).
Όταν το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο,οι ποδικοί κύκλοι εκφυλίζονται στις ευθείες Simson παραπάνω..


min##
Δημοσιεύσεις: 207
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Συντρέχουσες ευθείες Simson

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τετ Αύγ 14, 2019 4:00 pm

Μια απλούστερη για το αρχικό πρόβλημα :
Πρόταση:
Αν H_{A},H_{B},H_{C},H_{D} τα ορθόκεντρα των BCD,ACD,ABD,ABC τότε τα AH_{A},BH_{B},CH_{C},DH_{D} έχουν κοινό μέσο,έστω L.
Απόδειξη:Αρκεί AH_{A}BH_{B} παραλληλόγραμμο (αφού θα ισχύει και για τα άλλα..).
Όμως είναι προφανώς AH_{B}//BH_{A} και επιπλέον AH_{B}=BH_{A}=2cos(\angle DAC)\cdot R από όπου έπεται η πρόταση.
Το αρχικό τώρα είναι προφανές,αφού για παράδειγμα η ευθεία Simson του B ως προς το ACD διχοτομεί το BH_{B} δηλαδή περνάει από το L κτλ..


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης