Θέση για ελάχιστο

#1

Δίνεται οξυγώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ABC (AB=AC)

και ένα εσωτερικό του σημείο

. Αν

,

είναι τα σημεία τομής του

κύκλου $\mathcal{C}(A, AP)$ με τις

και

αντίστοιχα, να βρείτε τη θέση του

ώστε το άθροισμα MN+BP+CP

να είναι ελάχιστο.

Επεξεργασία: (Πέμπτη 11 Ιουλίου, 8:55 πμ). Συμπλήρωσα ποιες είναι οι ίσες πλευρές του ισοσκελούς
που είχα ξεχάσει να αναφέρω και μου το επεσήμαναν διακριτικά οι Γιώργος Ρίζος και Xriiiiistos.
Συμπλήρωσα ακόμα ότι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο.

KARKAR · #2

: Θέση για ελάχιστο.png (13.68 KiB) Προβλήθηκε 1179 φορές

Θα χρησιμοποιήσουμε ως χαρακτηριστικά του τριγώνου το : AB=AC=b

και το :

.

Είναι απλό να δούμε ότι για οποιαδήποτε θέση του

, υπάρχει η αντίστοιχη θέση του

πάνω στο ύψος

που δίνει το ίδιο

και το ελάχιστο PB+PC

. Έστω :

Η ζητούμενη ποσότητα είναι η S(x)=2MS+2PB

. Αλλά είναι ( από ομοιότητα ) : $MS=\dfrac{x\sqrt{b^2-h^2}}{b}$

και από Πυθαγόρειο : $PB=\sqrt{x^2-2hx+b^2}$ . Τελικά ζητάμε το ελάχιστο της :

$S(x)=2(\dfrac{x\sqrt{b^2-h^2}}{b}+\sqrt{x^2-2hx+b^2})$ . Η παράγωγός της μηδενίζεται

για : $x=\dfrac{2h^2-b^2}{h}$ . Π.χ. για b=5,h=4

, είναι $S_{min}=\dfrac{48}{5}$ για $x=\dfrac{7}{4}$ .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 11, 2019 7:18 pm
Θέση για ελάχιστο.pngΘα χρησιμοποιήσουμε ως χαρακτηριστικά του τριγώνου το : και το : .

Είναι απλό να δούμε ότι για οποιαδήποτε θέση του , υπάρχει η αντίστοιχη θέση του

πάνω στο ύψος που δίνει το ίδιο και το ελάχιστο . Έστω :

Η ζητούμενη ποσότητα είναι η . Αλλά είναι ( από ομοιότητα ) : $MS=\dfrac{x\sqrt{b^2-h^2}}{b}$

και από Πυθαγόρειο : $PB=\sqrt{x^2-2hx+b^2}$ . Τελικά ζητάμε το ελάχιστο της :

$S(x)=2(\dfrac{x\sqrt{b^2-h^2}}{b}+\sqrt{x^2-2hx+b^2})$ . Η παράγωγός της μηδενίζεται

για : $x=\dfrac{2h^2-b^2}{h}$ . Π.χ. για , είναι $S_{min}=\dfrac{48}{5}$ για $x=\dfrac{7}{4}$ .

Συγκεκριμένα το ζητούμενο σημείο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου!

Απόδειξη (στο σχήμα του κύριου Θανάση):
Έστω

το ορθόκεντρο του τριγώνου:
Αν

το ύψος του τριγώνου από την κορυφή

έχουμε $l=\dfrac{ah}{b}$
οπότε από όμοια τρίγωνα $BH=\dfrac{ab}{2h}$ .Με πυθαγόρειο $HD^2=\dfrac{a^2\left ( b^2-h^2 \right )}{4h^2}=\dfrac{4(b^2-h^2)^2}{16h^2}$ και έτσι $AH=\dfrac{2h^2-b^2}{h}$ άρα $H\equiv P$ .

Υ.Γ Για την άσκηση είχα παρόμοιες ιδέες με του κύριου Θανάση αλλά κόλλησα στο βήμα της εύρεσης του ελαχίστου της συνάρτησης ,θα μπορούσε να υπολογιστεί δίχως χρήση παραγώγων;

#4

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 11, 2019 10:16 pm

...Υ.Γ Για την άσκηση είχα παρόμοιες ιδέες με του κύριου Θανάση αλλά κόλλησα στο βήμα της εύρεσης του ελαχίστου της συνάρτησης ,θα μπορούσε να υπολογιστεί δίχως χρήση παραγώγων;

Για την ακρίβεια δεν ζητείται το ελάχιστο ( είναι 2h_b

), αλλά μόνο η θέση του σημείου

που πράγματι είναι το ορθόκεντρο, όπως γράφεις Πρόδρομε, και βρίσκεται χωρίς τη χρήση παραγώγων. Η άσκηση είναι από διαγωνισμό Juniors. Θα δώσω τα πλήρη στοιχεία, μετά τις όποιες άλλες λύσεις μπορεί να υπάρξουν.

S.E.Louridas · #5

Η λύση που σκέφτηκα όταν είδα το θέμα αυτό, αλλά καθυστέρησα να πληκτρολογήσω, για να ασχοληθούν και άλλοι λύτες, κυρίως νέοι.

Αρκεί τελικά αν $P{P_1} \bot AC$ , να βρούμε το $\;{\left( {NS + PC} \right)_{\min }} = {\left( {P{P_1} + PC} \right)_{\min }}.$

Όμως έχουμε: $\left( {P{P_2} \bot AB,\;C{C{'}} \bot AB} \right) \Rightarrow P{P_1} + PC = P{P_2} + PC \geqslant C{C{'}}...$

#6

Δίνω το σχήμα και γράφω κάπως πιο αναλυτικά, την πολύ όμορφη λύση του Σωτήρη.

: Θέση για ελάχιστο.β.png (23.01 KiB) Προβλήθηκε 948 φορές

Φέρνω $\displaystyle P{P_1} \bot AC,P{P_2} \bot AB.$ Επειδή τα τρίγωνα AMP, ANP

είναι ισοσκελή,

$\displaystyle SN \ge P{P_1},MS \ge P{P_2} \Rightarrow MN \ge P{P_1} + P{P_2},$

με την ισότητα να ισχύει όταν $\displaystyle AS \bot MN.$ Δηλαδή το

ανήκει στη μεσοκάθετο του BC.

$\displaystyle MN + BP + CP \ge BP + P{P_1} + CP + P{P_2} \ge B{P_1} + C{P_2} \ge 2{h_b}$ με την ισότητα να ισχύει όταν

τα σημεία $\displaystyle B,P,{P_1}$ είναι συνευθειακά καθώς επίσης και τα $\displaystyle C,P,{P_2}.$ Άρα το

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου.

Η άσκηση είναι από την τελική επιλογή της εθνικής ομάδας Juniors της Ρουμανίας το 2007.
Στο συνημμένο είναι η επίσημη λύση που είναι αρκετά πιο πολύπλοκη από αυτή του Σωτήρη.

Θέση για ελάχιστο

Θέση για ελάχιστο

Re: Θέση για ελάχιστο

Re: Θέση για ελάχιστο

Re: Θέση για ελάχιστο

Re: Θέση για ελάχιστο

Re: Θέση για ελάχιστο

Μέλη σε σύνδεση