Η ώρα της συνεφαπτομένης

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11370
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Η ώρα της συνεφαπτομένης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μαρ 29, 2019 8:09 pm

Η  ώρα  της  συνεφαπτομένης.png
Η ώρα της συνεφαπτομένης.png (12.03 KiB) Προβλήθηκε 630 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , φέρουμε από την κορυφή A τμήμα AS

κάθετο στην διάμεσο BM . Αν CS=AB , υπολογίστε την \sigma \phi \hat{C} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7038
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η ώρα της συνεφαπτομένης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μαρ 29, 2019 9:05 pm

Η ώρα της συνεφαπτομένης_απο σπόντα.png
Η ώρα της συνεφαπτομένης_απο σπόντα.png (19.73 KiB) Προβλήθηκε 593 φορές
Αν K\,,\,\,L τα μέσα των SA\,,\,\,SB και AB = DC = 2m θα είναι KL = KM = m

και άρα το ισοσκελές \vartriangle KLM έχει το ύψος του KS και διάμεσο .

Στο \vartriangle ABC θα είναι έτσι το S βαρύκεντρο και άρα η προέκταση του SC θα διέρχεται από το μέσο N του AB, θα είναι δε: SN = NA = NB = m.

AC = \sqrt {{{(3m)}^2} + {m^2}}  = 2\sqrt 2 m και άρα \boxed{\sigma \varphi C = \dfrac{{AC}}{{AB}} = \sqrt 2 }.


Μια από τα ίδια Μ αυτή


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1773
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Η ώρα της συνεφαπτομένης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Μαρ 30, 2019 12:08 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 29, 2019 8:09 pm
Η ώρα της συνεφαπτομένης.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , φέρουμε από την κορυφή A τμήμα AS

κάθετο στην διάμεσο BM . Αν CS=AB , υπολογίστε την \sigma \phi \hat{C} .

Με \displaystyle D συμμετρικό του \displaystyle S ως προς \displaystyle M,το \displaystyle ASCD είναι παραλ/μμο ,άρα οι σημειωμένες γωνίες είναι ίσες

κι έτσι \displaystyle AD εφαπτόμενη του περίκυκλου του \displaystyle \vartriangle MDC

Ισχύει, \displaystyle A{D^2} = AM \cdot AC = \frac{{A{C^2}}}{2} \Rightarrow {\left( {\frac{{AC}}{{AB}}} \right)^2} = 2 \Rightarrow \boxed{\sigma \phi C = \sqrt 2 }
ώρα συνεφαπτόμενης.png
ώρα συνεφαπτόμενης.png (16.45 KiB) Προβλήθηκε 579 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Τσουρακάκης σε Σάβ Μαρ 30, 2019 12:30 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7038
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η ώρα της συνεφαπτομένης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μαρ 30, 2019 12:23 am

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε:
Σάβ Μαρ 30, 2019 12:08 am
KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 29, 2019 8:09 pm
Η ώρα της συνεφαπτομένης.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , φέρουμε από την κορυφή A τμήμα AS

κάθετο στην διάμεσο BM . Αν CS=AB , υπολογίστε την \sigma \phi \hat{C} .

Με \displaystyle D συμμετρικό του \displaystyle M ως προς \displaystyle AC,το \displaystyle ASCD είναι παραλ/μμο ,άρα οι σημειωμένες γωνίες είναι ίσες

κι έτσι \displaystyle AD εφαπτόμενη του περίκυκλου του \displaystyle \vartriangle MDC

Ισχύει, \displaystyle A{D^2} = AM \cdot AC = \frac{{A{C^2}}}{2} \Rightarrow {\left( {\frac{{AC}}{{AB}}} \right)^2} = 2 \Rightarrow \boxed{\sigma \phi C = \sqrt 2 }

ώρα συνεφαπτόμενης.png
:clap2:


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8967
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Η ώρα της συνεφαπτομένης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μαρ 30, 2019 10:27 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 29, 2019 8:09 pm
Η ώρα της συνεφαπτομένης.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , φέρουμε από την κορυφή A τμήμα AS

κάθετο στην διάμεσο BM . Αν CS=AB , υπολογίστε την \sigma \phi \hat{C} .
Οι AS, CS τέμνουν τις BC, BA στα N, P αντίστοιχα. Από το αντίστροφο του Ceva διαπιστώνουμε ότι PN||AC.
Η ώρα της συνεφαπτομένης.png
Η ώρα της συνεφαπτομένης.png (12.6 KiB) Προβλήθηκε 539 φορές
\displaystyle \frac{{BP}}{c} = \frac{{PN}}{b} = \frac{{PS}}{{SC}} = \frac{{PS}}{c} \Leftrightarrow BP = PS, άρα P είναι το μέσο του AB και S το βαρύκεντρο του ABC.

Εύκολα τώρα προκύπτει ότι b^2=2c^2 και \boxed{\sigma \varphi C = \sqrt 2 }


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3270
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Η ώρα της συνεφαπτομένης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Μαρ 30, 2019 11:12 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 29, 2019 8:09 pm
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , φέρουμε από την κορυφή A τμήμα AS

κάθετο στην διάμεσο BM . Αν CS=AB , υπολογίστε την \sigma \phi \hat{C} .
shape.png
shape.png (17.27 KiB) Προβλήθηκε 531 φορές
Από το παραλληλόγραμμο SCDA, σχηματίζεται το εγγράψιμο BCDA και οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες αφού βαίνουν σε ίσες χορδές.

Από  \triangleleft BAM \sim  \triangleleft CAB \Rightarrow \dfrac{y}{x} = \dfrac{{2x}}{y} \Leftrightarrow y = x\sqrt 2 , συνεπώς \sigma \varphi \angle C = \dfrac{{2x}}{y} = \sqrt 2


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
thanasis.a
Δημοσιεύσεις: 486
Εγγραφή: Δευ Ιαν 02, 2012 10:09 pm

Re: Η ώρα της συνεφαπτομένης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thanasis.a » Κυρ Μαρ 31, 2019 12:47 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 29, 2019 8:09 pm
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , φέρουμε από την κορυφή A τμήμα AS

κάθετο στην διάμεσο BM . Αν CS=AB , υπολογίστε την \sigma \phi \hat{C} .
draw1.png
draw1.png (31.28 KiB) Προβλήθηκε 489 φορές

..καλημερα..

έστω \displaystyleHC\perp SH\Rightarrow SM\parallel HC και αφού M μέσο της AC έχουμε\displaystyle AS=SH.

ταυτόχρονα έχουμε: \displaystyle\,\,\bigtriangleup BAS=SBH (i. AS=SH\,\,\,ii.AB=SC\,\,\,iii.\widehat{S}=\widehat{H}=90\Rightarrow AS= \parallel HC\Rightarrow BSCH παραλληλόγραμμο.

Κατά συνέπεια I μέσο BC άρα AI διάμεσος στο ABC. Έτσι Sβαρύκεντρο δηλαδή CLδιάμεσος απ΄όπου βγαίνουν δύο συμπεράσματα

\displaystyle SL=\frac{SC}{2}=\frac{c}{2}\,\,\,\,\wedge (\widehat{S}=90^{\circ})\,\,\,\,SL=LA=LB=\frac{c}{2}

Από το Π.Θ. στο ALC έχουμε: \displaystyle AC=\sqrt{2}c\mathop\Rightarrow^{\bigtriangleup ABC} \sigma \phi \widehat{BCA}=\frac{AC}{AB}=\sqrt{2}}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4570
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Η ώρα της συνεφαπτομένης

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Μαρ 31, 2019 3:42 pm

Καλησπέρα σε όλους. Μετά τις ευφάνταστες γεωμετρικές λύσεις των εκλεκτών Γεωμετρών μας, αναρτώ και μια πεζή υπολογιστική, που απλώς δεν χρειάζεται νέο σχήμα, εφόσον δεν χρησιμοποιεί καμία βοηθητική.



Η  ώρα  της  συνεφαπτομένης.png
Η ώρα της συνεφαπτομένης.png (12.03 KiB) Προβλήθηκε 472 φορές



Έστω (A(0,0), M(1, 0), C(2, 0), B(0, a), a>0.

Τότε  \displaystyle BM:\;\;y =  - ax + a,\;\;AS:\;y = \frac{1}{a}x , οπότε  \displaystyle S\left( {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 1}},\;\frac{a}{{{a^2} + 1}}} \right)

Είναι  \displaystyle CS = AB \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 1}} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{{{a^2} + 1}}} \right)}^2}}  = a
 \displaystyle  \Leftrightarrow {a^6} + {a^4} - 4{a^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow a = \sqrt[4]{4} = \sqrt 2

Οπότε  \displaystyle \sigma \varphi \theta  = \frac{{AC}}{{AB}} = \sqrt 2 .


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1868
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Η ώρα της συνεφαπτομένης

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Απρ 01, 2019 8:50 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 29, 2019 8:09 pm
Η ώρα της συνεφαπτομένης.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , φέρουμε από την κορυφή A τμήμα AS

κάθετο στην διάμεσο BM . Αν CS=AB , υπολογίστε την \sigma \phi \hat{C} .
Στο παραλληλόγραμμο ASCI είναι SC=AI=c,SC//AI

και στο τρίγωνο ABI, AB=AI,AS\perp BI,BS=SI,JS=\dfrac{AI}{2}=\dfrac{c}{2}

Συνεπώς

JC^{2}=AC^{2}+AJ^{2}\Rightarrow b^{2}=2c^{2}\Leftrightarrow \dfrac{b}{c}=\sqrt{2}\Rightarrow 

      \sigma \varphi C=\sqrt{2}





Γιάννης
Συνημμένα
Η ώρα της συνεφαπτομένης.png
Η ώρα της συνεφαπτομένης.png (49.76 KiB) Προβλήθηκε 438 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης