Η ώρα της συνεφαπτομένης

KARKAR · #1

: Η ώρα της συνεφαπτομένης.png (12.03 KiB) Προβλήθηκε 1440 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , φέρουμε από την κορυφή

τμήμα

κάθετο στην διάμεσο

. Αν

, υπολογίστε την $\sigma \phi \hat{C}$ .

#2

: Η ώρα της συνεφαπτομένης_απο σπόντα.png (19.73 KiB) Προβλήθηκε 1403 φορές

Αν $K\,,\,\,L$ τα μέσα των $SA\,,\,\,SB$ και AB = DC = 2m

θα είναι

και άρα το ισοσκελές $\vartriangle KLM$ έχει το ύψος του

και διάμεσο .

Στο $\vartriangle ABC$ θα είναι έτσι το

βαρύκεντρο και άρα η προέκταση του

θα διέρχεται από το μέσο

του

, θα είναι δε: SN = NA = NB = m

.

$AC = \sqrt {{{(3m)}^2} + {m^2}} = 2\sqrt 2 m$ και άρα $\boxed{\sigma \varphi C = \dfrac{{AC}}{{AB}} = \sqrt 2 }$ .

Μια από τα ίδια Μ αυτή

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 29, 2019 8:09 pm
Η ώρα της συνεφαπτομένης.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , φέρουμε από την κορυφή τμήμα

κάθετο στην διάμεσο . Αν , υπολογίστε την $\sigma \phi \hat{C}$ .

Με $\displaystyle D$ συμμετρικό του $\displaystyle S$ ως προς $\displaystyle M$ ,το $\displaystyle ASCD$ είναι παραλ/μμο ,άρα οι σημειωμένες γωνίες είναι ίσες

κι έτσι $\displaystyle AD$ εφαπτόμενη του περίκυκλου του $\displaystyle \vartriangle MDC$

Ισχύει, $\displaystyle A{D^2} = AM \cdot AC = \frac{{A{C^2}}}{2} \Rightarrow {\left( {\frac{{AC}}{{AB}}} \right)^2} = 2 \Rightarrow \boxed{\sigma \phi C = \sqrt 2 }$

: ώρα συνεφαπτόμενης.png (16.45 KiB) Προβλήθηκε 1389 φορές

#4

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 30, 2019 12:08 am

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 29, 2019 8:09 pm
Η ώρα της συνεφαπτομένης.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , φέρουμε από την κορυφή τμήμα

κάθετο στην διάμεσο . Αν , υπολογίστε την $\sigma \phi \hat{C}$ .

Με $\displaystyle D$ συμμετρικό του $\displaystyle M$ ως προς $\displaystyle AC$ ,το $\displaystyle ASCD$ είναι παραλ/μμο ,άρα οι σημειωμένες γωνίες είναι ίσες

κι έτσι $\displaystyle AD$ εφαπτόμενη του περίκυκλου του $\displaystyle \vartriangle MDC$

Ισχύει, $\displaystyle A{D^2} = AM \cdot AC = \frac{{A{C^2}}}{2} \Rightarrow {\left( {\frac{{AC}}{{AB}}} \right)^2} = 2 \Rightarrow \boxed{\sigma \phi C = \sqrt 2 }$

ώρα συνεφαπτόμενης.png

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 29, 2019 8:09 pm
Η ώρα της συνεφαπτομένης.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , φέρουμε από την κορυφή τμήμα

κάθετο στην διάμεσο . Αν , υπολογίστε την $\sigma \phi \hat{C}$ .

Οι

τέμνουν τις BC, BA

στα

αντίστοιχα. Από το αντίστροφο του Ceva διαπιστώνουμε ότι PN||AC.

: Η ώρα της συνεφαπτομένης.png (12.6 KiB) Προβλήθηκε 1349 φορές

$\displaystyle \frac{{BP}}{c} = \frac{{PN}}{b} = \frac{{PS}}{{SC}} = \frac{{PS}}{c} \Leftrightarrow BP = PS,$ άρα

είναι το μέσο του

και

το βαρύκεντρο του ABC.

Εύκολα τώρα προκύπτει ότι b^2=2c^2

και $\boxed{\sigma \varphi C = \sqrt 2 }$

Ιστοσελίδα · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 29, 2019 8:09 pm
Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , φέρουμε από την κορυφή τμήμα

κάθετο στην διάμεσο . Αν , υπολογίστε την $\sigma \phi \hat{C}$ .

: shape.png (17.27 KiB) Προβλήθηκε 1341 φορές

Από το παραλληλόγραμμο SCDA

, σχηματίζεται το εγγράψιμο BCDA

και οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες αφού βαίνουν σε ίσες χορδές.

Από $\triangleleft BAM \sim \triangleleft CAB \Rightarrow \dfrac{y}{x} = \dfrac{{2x}}{y} \Leftrightarrow y = x\sqrt 2$ , συνεπώς $\sigma \varphi \angle C = \dfrac{{2x}}{y} = \sqrt 2$

thanasis.a · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 29, 2019 8:09 pm
Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , φέρουμε από την κορυφή τμήμα

κάθετο στην διάμεσο . Αν , υπολογίστε την $\sigma \phi \hat{C}$ .

: draw1.png (31.28 KiB) Προβλήθηκε 1299 φορές

..καλημερα..

έστω $\displaystyleHC\perp SH\Rightarrow SM\parallel HC$ και αφού

μέσο της

έχουμε $\displaystyle AS=SH$ .

ταυτόχρονα έχουμε: $\displaystyle\,\,\bigtriangleup BAS=SBH (i. AS=SH\,\,\,ii.AB=SC\,\,\,iii.\widehat{S}=\widehat{H}=90\Rightarrow AS= \parallel HC\Rightarrow BSCH$ παραλληλόγραμμο.

Κατά συνέπεια

μέσο

άρα

διάμεσος στο ABC

. Έτσι

βαρύκεντρο δηλαδή

διάμεσος απ΄όπου βγαίνουν δύο συμπεράσματα

$\displaystyle SL=\frac{SC}{2}=\frac{c}{2}\,\,\,\,\wedge (\widehat{S}=90^{\circ})\,\,\,\,SL=LA=LB=\frac{c}{2}$

Από το Π.Θ. στο ALC

έχουμε: $\displaystyle AC=\sqrt{2}c\mathop\Rightarrow^{\bigtriangleup ABC} \sigma \phi \widehat{BCA}=\frac{AC}{AB}=\sqrt{2}}$

#8

Καλησπέρα σε όλους. Μετά τις ευφάνταστες γεωμετρικές λύσεις των εκλεκτών Γεωμετρών μας, αναρτώ και μια πεζή υπολογιστική, που απλώς δεν χρειάζεται νέο σχήμα, εφόσον δεν χρησιμοποιεί καμία βοηθητική.

: Η ώρα της συνεφαπτομένης.png (12.03 KiB) Προβλήθηκε 1282 φορές

Έστω

.

Τότε $\displaystyle BM:\;\;y = - ax + a,\;\;AS:\;y = \frac{1}{a}x$ , οπότε $\displaystyle S\left( {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 1}},\;\frac{a}{{{a^2} + 1}}} \right)$

Είναι $\displaystyle CS = AB \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 1}} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{{{a^2} + 1}}} \right)}^2}} = a$
$\displaystyle \Leftrightarrow {a^6} + {a^4} - 4{a^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow a = \sqrt[4]{4} = \sqrt 2$

Οπότε $\displaystyle \sigma \varphi \theta = \frac{{AC}}{{AB}} = \sqrt 2$ .

STOPJOHN · #9

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 29, 2019 8:09 pm
Η ώρα της συνεφαπτομένης.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , φέρουμε από την κορυφή τμήμα

κάθετο στην διάμεσο . Αν , υπολογίστε την $\sigma \phi \hat{C}$ .

Στο παραλληλόγραμμο ASCI

είναι

και στο τρίγωνο $ABI, AB=AI,AS\perp BI,BS=SI,JS=\dfrac{AI}{2}=\dfrac{c}{2}$

Συνεπώς

$JC^{2}=AC^{2}+AJ^{2}\Rightarrow b^{2}=2c^{2}\Leftrightarrow \dfrac{b}{c}=\sqrt{2}\Rightarrow \sigma \varphi C=\sqrt{2}$

Γιάννης

Η ώρα της συνεφαπτομένης

Η ώρα της συνεφαπτομένης

Re: Η ώρα της συνεφαπτομένης

Re: Η ώρα της συνεφαπτομένης

Re: Η ώρα της συνεφαπτομένης

Re: Η ώρα της συνεφαπτομένης

Re: Η ώρα της συνεφαπτομένης

Re: Η ώρα της συνεφαπτομένης

Re: Η ώρα της συνεφαπτομένης

Re: Η ώρα της συνεφαπτομένης

Μέλη σε σύνδεση