Σελίδα 1 από 1

Από Βιετνάμ.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μαρ 17, 2019 8:07 am
από Φανης Θεοφανιδης
4.png
4.png (9.54 KiB) Προβλήθηκε 1001 φορές


Καλημέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το ABCD είναι τετράγωνο και το ADE ισόπλευρο τρίγωνο.

Δείξτε ότι ο έγκυκλος του τετραγώνου διέρχεται από το μέσο M του τμήματος EC.

Re: Από Βιετνάμ.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μαρ 17, 2019 9:54 am
από STOPJOHN
Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Μαρ 17, 2019 8:07 am
4.png



Καλημέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το ABCD είναι τετράγωνο και το ADE ισόπλευρο τρίγωνο.

Δείξτε ότι ο έγκυκλος του τετραγώνου διέρχεται από το μέσο M του τμήματος EC.

Καλημέρα

Το τρίγωνο

ADC είναι ισοσκελές με

ED=DC,\hat{DEC}=\hat{DCE}=15^{0},EC^{2}=2a^{2}+2a^{2} \dfrac{\sqrt{3}}{2}

    \Leftrightarrow EC=a\sqrt{2+\sqrt{3}}


Από το αντίστροφο θεώρημα διαμέσου στο τρίγωνο OEC,OE^{2}+OC^{2}=2OM^{2}+\dfrac{EC^{2}}{2} ισχυει εφόσον είναι OC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2},OM=\dfrac{a}{2},OE=\dfrac{a+a\sqrt{3}}{2}





Γιάννης

Re: Από Βιετνάμ.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μαρ 17, 2019 10:40 am
από Doloros
Απο Βιετνάμ.png
Απο Βιετνάμ.png (22.17 KiB) Προβλήθηκε 971 φορές

Το κέντρο O του κύκλου είναι το μέσο της διαγωνίου AC. Η EC τέμνει σε δύο σημεία M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N τον κύκλο . Είναι: EA = 2OM = 2ON = 2R.

Το N, πιο κοντά στο C, δεχόμαστε ότι δεν είναι μέσο του EC. Αν τώρα M' είναι το μέσο του EC

τότε 2OM'// = EA \Rightarrow OM' = OM = ON = R. Δηλαδή ο κύκλος έχει τρία διαφορετικά σημεία με την EC , άτοπο .

Re: Από Βιετνάμ.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μαρ 17, 2019 10:49 am
από george visvikis
Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Μαρ 17, 2019 8:07 am
4.png



Καλημέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το ABCD είναι τετράγωνο και το ADE ισόπλευρο τρίγωνο.

Δείξτε ότι ο έγκυκλος του τετραγώνου διέρχεται από το μέσο M του τμήματος EC.
Καλημέρα!

Πειράζω λίγο την εκφώνηση. Ορίζω το M μέσο του EC και θα δείξω ότι ανήκει στον έγκυκλο του τετραγώνου.
Βιετνάμ.png
Βιετνάμ.png (15.92 KiB) Προβλήθηκε 964 φορές
\displaystyle DM \bot EC, το EDMP είναι εγγράψιμο και DM=MP, \displaystyle QM = \frac{{EC}}{2} = MC. Εξάλλου, DC=PQ=a.

Άρα, τα τρίγωνα MDC, MPQ είναι ίσα και P\widehat MQ=90^\circ, που σημαίνει ότι το M είναι σημείο του κύκλου διαμέτρου PQ και αποδεικνύει το ζητούμενο.

Re: Από Βιετνάμ.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μαρ 17, 2019 10:59 am
από Doloros
Αντιπαράδειγμα στην_Από Βιετνάμ.png
Αντιπαράδειγμα στην_Από Βιετνάμ.png (20.49 KiB) Προβλήθηκε 960 φορές
Δεν είναι αναγκαίο τα κατασκευάσουμε ισόπλευρο τρίγωνο . Αρκεί να είναι το EA ίσο με την πλευρά του τετραγώνου .

Re: Από Βιετνάμ.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μαρ 17, 2019 11:59 am
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Μαρ 17, 2019 8:07 am
4.png



Καλημέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το ABCD είναι τετράγωνο και το ADE ισόπλευρο τρίγωνο.

Δείξτε ότι ο έγκυκλος του τετραγώνου διέρχεται από το μέσο M του τμήματος EC.
Ο έγκυκλος του τετραγώνου είναι (από τις επαφές) ο ομοιόθετος του \left( A,AD \right) με κέντρο ομοιοθεσίας το C και λόγο (το λόγο των ακτινών τους) \dfrac{1}{2} και το ζητούμενο έπεται