Επί - λογος

KARKAR · #1

: Επίλογος.png (14.57 KiB) Προβλήθηκε 1105 φορές

Στις πλευρές AB , AC

τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε σημεία D , E

αντίστοιχα ,

τέτοια ώστε : $AD=\dfrac{4}{5}AB , AE=\dfrac{2}{5}AC$ .

α) Εντοπίστε σημείο

του

, ώστε :

β) Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{DS}{SE}$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 09, 2019 9:36 am
Επίλογος.pngΣτις πλευρές τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε σημεία αντίστοιχα ,

τέτοια ώστε : $AD=\dfrac{4}{5}AB , AE=\dfrac{2}{5}AC$ .

α) Εντοπίστε σημείο του , ώστε :

β) Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{DS}{SE}$

Έστω

το ύψος του ABC

και

: Επί-λογος.png (15.06 KiB) Προβλήθηκε 1099 φορές

α) $\displaystyle \frac{{(ADE)}}{{(ABC)}} = \dfrac{{\dfrac{{4c}}{5} \cdot \dfrac{{2b}}{5}}}{{bc}} = \dfrac{8}{{25}} = \dfrac{{(SBC)}}{{(ABC)}} = \dfrac{{KH}}{{AH}} \Leftrightarrow KH = \dfrac{{8AH}}{{25}}.$ Αν λοιπόν θεωρήσουμε επί του ύψους

σημείο

ώστε $HK=\dfrac{8AH}{25}$ και φέρουμε παράλληλη στη

τότε αυτή τέμνει το τμήμα

στο ζητούμενο σημείο

β) Έστω

Αφού τα δύο χρωματιστά τρίγωνα καταλαμβάνουν μαζί $\displaystyle \frac{{16}}{{25}}(ABC),$ θα είναι $\displaystyle (BDS) + (SEC) = \frac{9}{{25}}(ABC) = \frac{9}{8}(ADE)$

$\displaystyle \frac{{(BDS)}}{{(ADE)}} + \frac{{(SEC)}}{{(ADE)}} = \frac{9}{8} \Leftrightarrow \frac{{\frac{c}{5} \cdot x}}{{\frac{{4c}}{5}(x + y)}} + \frac{{\frac{{3b}}{5} \cdot y}}{{\frac{{2b}}{5}(x + y)}} = \frac{9}{8} \Leftrightarrow 2x + 12y = 9(x + y) \Leftrightarrow$ $\boxed{\dfrac{DS}{SE}=\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{7}}$

#3

Ας είναι $AB = 25k\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC = 25t\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,k,t > 0$ τότε:

$\left\{ \begin{gathered} AD = 20k \hfill \\ AE = 10t \hfill \\ DB = 5k \hfill \\ EC = 15t \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και $\left\{ \begin{gathered} \frac{{(ADE)}}{{(ABC)}} = \frac{{20k \cdot 10t}}{{25k \cdot 25t}} = \frac{8}{{25}} \hfill \\ \frac{x}{y} = \frac{8}{{25}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Επιλόγος.png (19.13 KiB) Προβλήθηκε 1080 φορές

Όπου

τα ύψη των τριγώνων $SBC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ABC$ από τα $S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A$ .

Γι’ αυτό θεωρώ ευθεία $(\varepsilon )$ παράλληλη στη

σε απόσταση $\boxed{d = \frac{{8y}}{{25}}}$ απ’ αυτή

Που τέμνει τη

στο

. Αν τώρα $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ οι προβολές των $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ από την $(\varepsilon )$ θα είναι :

$\boxed{\frac{{DS}}{{SE}} = \frac{{KD}}{{EL}} = \frac{{8 - 5}}{{15 - 8}} = \frac{3}{7}}$

Altrian · #4

Εστω

χωρίς βλάβη της γενικότητας. Eστω Επίσης (DBS)=a

.

. Τότε παίρνουμε διαδοχικά:

$(DSA)=4a\Rightarrow (ASE)=8-4a\Rightarrow (SEC)=(ASE)*3/2=12-6a$

$\Rightarrow 8=(BSC)=(DEBC)-a-(12-6a)=17-a-12+6a\Rightarrow a=3/5$

Αρα DS/SE=4a/(8-4a)=(12/5)/(28/5)=3/7

Επί - λογος

Επί - λογος

Re: Επί - λογος

Re: Επί - λογος

Re: Επί - λογος

Μέλη σε σύνδεση