Επί - λογος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11896
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Επί - λογος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Φεβ 09, 2019 9:36 am

Επίλογος.png
Επίλογος.png (14.57 KiB) Προβλήθηκε 834 φορές
Στις πλευρές AB , AC τριγώνου \displaystyle ABC , θεωρούμε σημεία D , E αντίστοιχα ,

τέτοια ώστε : AD=\dfrac{4}{5}AB , AE=\dfrac{2}{5}AC .

α) Εντοπίστε σημείο S του DE , ώστε : (ADE)=(SBC)

β) Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{DS}{SE}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9800
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επί - λογος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 09, 2019 10:12 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Φεβ 09, 2019 9:36 am
Επίλογος.pngΣτις πλευρές AB , AC τριγώνου \displaystyle ABC , θεωρούμε σημεία D , E αντίστοιχα ,

τέτοια ώστε : AD=\dfrac{4}{5}AB , AE=\dfrac{2}{5}AC .

α) Εντοπίστε σημείο S του DE , ώστε : (ADE)=(SBC)

β) Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{DS}{SE}
Έστω AH το ύψος του ABC και SK//BC.
Επί-λογος.png
Επί-λογος.png (15.06 KiB) Προβλήθηκε 828 φορές
α) \displaystyle \frac{{(ADE)}}{{(ABC)}} = \dfrac{{\dfrac{{4c}}{5} \cdot \dfrac{{2b}}{5}}}{{bc}} = \dfrac{8}{{25}} = \dfrac{{(SBC)}}{{(ABC)}} = \dfrac{{KH}}{{AH}} \Leftrightarrow KH = \dfrac{{8AH}}{{25}}. Αν λοιπόν θεωρήσουμε επί του ύψους

σημείο K ώστε HK=\dfrac{8AH}{25} και φέρουμε παράλληλη στη BC τότε αυτή τέμνει το τμήμα DE στο ζητούμενο σημείο S.

β) Έστω DS=x, SE=y. Αφού τα δύο χρωματιστά τρίγωνα καταλαμβάνουν μαζί \displaystyle \frac{{16}}{{25}}(ABC), θα είναι \displaystyle (BDS) + (SEC) = \frac{9}{{25}}(ABC) = \frac{9}{8}(ADE)

\displaystyle \frac{{(BDS)}}{{(ADE)}} + \frac{{(SEC)}}{{(ADE)}} = \frac{9}{8} \Leftrightarrow \frac{{\frac{c}{5} \cdot x}}{{\frac{{4c}}{5}(x + y)}} + \frac{{\frac{{3b}}{5} \cdot y}}{{\frac{{2b}}{5}(x + y)}} = \frac{9}{8} \Leftrightarrow 2x + 12y = 9(x + y) \Leftrightarrow \boxed{\dfrac{DS}{SE}=\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{7}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7546
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Επί - λογος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Φεβ 09, 2019 12:09 pm

Ας είναι AB = 25k\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC = 25t\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,k,t > 0 τότε:

\left\{ \begin{gathered} 
  AD = 20k \hfill \\ 
  AE = 10t \hfill \\ 
  DB = 5k \hfill \\ 
  EC = 15t \hfill \\  
\end{gathered}  \right. και \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{(ADE)}}{{(ABC)}} = \frac{{20k \cdot 10t}}{{25k \cdot 25t}} = \frac{8}{{25}} \hfill \\ 
  \frac{x}{y} = \frac{8}{{25}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
Επιλόγος.png
Επιλόγος.png (19.13 KiB) Προβλήθηκε 809 φορές
Όπου x,y τα ύψη των τριγώνων SBC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ABC από τα S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A.

Γι’ αυτό θεωρώ ευθεία (\varepsilon ) παράλληλη στη BC σε απόσταση \boxed{d = \frac{{8y}}{{25}}} απ’ αυτή

Που τέμνει τη DE στο S. Αν τώρα K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L οι προβολές των D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E από την (\varepsilon ) θα είναι :


\boxed{\frac{{DS}}{{SE}} = \frac{{KD}}{{EL}} = \frac{{8 - 5}}{{15 - 8}} = \frac{3}{7}}


Altrian
Δημοσιεύσεις: 210
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Επί - λογος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Σάβ Φεβ 09, 2019 12:30 pm

Εστω (ABC)=25 χωρίς βλάβη της γενικότητας. Eστω Επίσης (DBS)=a.

(ADE)=(ABE)4/5=(ABC)2/5*4/5=(ABC)8/25=8. Τότε παίρνουμε διαδοχικά:

(DSA)=4a\Rightarrow (ASE)=8-4a\Rightarrow (SEC)=(ASE)*3/2=12-6a

\Rightarrow 8=(BSC)=(DEBC)-a-(12-6a)=17-a-12+6a\Rightarrow a=3/5

Αρα DS/SE=4a/(8-4a)=(12/5)/(28/5)=3/7
Συνημμένα
epilogos.png
epilogos.png (80.04 KiB) Προβλήθηκε 802 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης