Τρίγωνο-97.
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2
-
- Δημοσιεύσεις: 1419
- Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm
Τρίγωνο-97.
Καλησπέρα.
Στο τρίγωνο του παραπάνω σχήματος είναι .
Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας .
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Τρίγωνο-97.
Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑Παρ Σεπ 21, 2018 9:35 pm10.png
Καλησπέρα.
Στο τρίγωνο του παραπάνω σχήματος είναι .
Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας .
Επί της έστω σημείο με
Τα τρίγωνα έχουν, άρα
είναι ίσα,οπότε και και
Έτσι,στο ισοσκελές τρίγωνο με ,θα είναι κι επειδή
τα θα είναι συνευθειακά με και προφανώς
Αν τώρα η κάθετη από το στην τέμνει την στο ,θα είναι ,άρα
κι επειδή το είναι ισόπλευρο με ύψος του
Επομένως
Re: Τρίγωνο-97.
Ανάδρομη κατασκευή.Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑Παρ Σεπ 21, 2018 9:35 pm10.png
Καλησπέρα.
Στο τρίγωνο του παραπάνω σχήματος είναι .
Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας .
Έχω τρίγωνο και γράφω το περιγεγραμμένο του κύκλο κέντρου και ακτίνας, έστω . Προφανώς το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
Επίσης το τρίγωνο . Ενώ
Η ακτίνα τέμνει τη στο . Γράφω τώρα και το περιγεγραμμένο κύκλο
του τριγώνου που τέμνει ακόμα την στο . Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο με απλό κυνήγι γωνιών προκύπτουν:
Άρα από το τρίγωνο η εξωτερική του γωνία στο είναι: .
Δηλαδή ισχύουν οι προϋποθέσεις της εκφώνησης και η γωνία που ζητάμε είναι .
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Τρίγωνο-97.
Καλησπέρα.Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑Παρ Σεπ 21, 2018 9:35 pm[
Καλησπέρα.
Στο τρίγωνο του παραπάνω σχήματος είναι .
Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας .
Σχηματίζουμε το ισοσκελές τραπέζιο . Παίρνουμε τώρα σημείο πάνω στην ώστε . Τέλος, παίρνουμε σημείο πάνω στην ώστε .
Αφού το είναι ισοσκελές τραπέζιο, είναι και επίσης .
Άρα, το είναι ισοσκελές, οπότε . Επίσης, από το τρίγωνο , είναι . Επομένως, τα τρίγωνα έχουν , άρα είναι ίσα. Επομένως, .
Άρα, το και το ανήκουν στη μεσοκάθετο της , οπότε . Επίσης, .
Επομένως, , άρα το είναι ισόπλευρο. Άρα, αφού το είναι ισοσκελές τραπέζιο, είναι .
Επίσης, .
Τώρα, τα τρίγωνα έχουν και , άρα είναι ίσα.
Επομένως, .
Τώρα, παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα έχουν , άρα είναι ίσα και .
Επομένως, , και αφού .
Άρα, .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Τρίγωνο-97.
Έστω σημείο της ώστε και σημείο στην ώστε .
Ισχύει προφανώς ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Φέρνουμε κύκλο με κέντρο το και ακτίνα και έστω πως τέμνει για δεύτερη φορά την στο .
Έχουμε ότι , άρα αφού ισχύει ότι , οπότε η είναι η διχοτόμος της .
Ταυτόχρονα η ως επίκεντρη της είναι διπλάσιά της, οπότε , άρα η είναι η διχοτόμος της .
Από θεωρήματα διχοτόμων έχουμε ότι:
και , άρα .
Ισχύει από νόμο ημιτόνων ότι .
Όμως που ισχύει.
Οπότε , άρα από τα παραπάνω .
Όμως από νόμο ημιτόνων έχουμε ότι .
Οπότε και επομένως και ως αποτέλεσμα .
Άρα .
Houston, we have a problem!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες