Τρίγωνο-94.

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1011
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Τρίγωνο-94.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Πέμ Σεπ 13, 2018 9:13 pm

1.png
1.png (7.56 KiB) Προβλήθηκε 231 φορές

Καλησπέρα.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC του παραπάνω σχήματος είναι x+y=a+b.

Βρείτε το μέτρο της γωνίας \theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6765
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Τρίγωνο-94.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Πέμ Σεπ 13, 2018 10:45 pm

Καλησπέρα. Μια λύση.
Εφαρμόζοντας νόμο ημιτόνων στ τρίγωνο \displaystyle ADC έχω (μετά τις πράξεις και τη...γνωστή τριγωνομετρία) ότι:

\displaystyle \alpha  + b = \left[ {\cos \theta  + \left( {\sqrt 3  + 2} \right)\sin \theta } \right]AD

Όμοια εργαζόμενος στο τρίγωνο \displaystyle ABD έχω:

\displaystyle x + y = \left( {\sin \theta  + \sqrt 3 \cos \theta } \right)AD, οπότε από τη συνθήκη τελικά παράγεται ότι (μετά και τις πράξεις):

\displaystyle \tan \theta  = \frac{{\sqrt 3  - 1}}{{\sqrt 3  + 1}} = \frac{{\tan {{60}^o} - \tan {{45}^o}}}{{1 + \tan {{60}^o} \cdot \tan {{45}^o}}} = \tan \left( {{{60}^o} - {{45}^o}} \right) = \tan {15^o}

Μιας και η γωνία \displaystyle \vartheta είναι οξεία τελικά \displaystyle \vartheta  = {15^o}.


Χρήστος Κυριαζής
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 104
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Τρίγωνο-94.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Πέμ Σεπ 13, 2018 10:48 pm

E σημείο στην προέκταση της \underset{AC}{\rightarrow} ώστε EC=DC. Ομοίως τώρα L σημείο προέκτασης της \underset{AB}{\rightarrow} ώστε BD=DL. Τώρα θα έχουμε προφανώς AL=AE<=>x+y=a+b οπότε βρίσκουμε πολύ εύκολα

\widehat{ALD}=\widehat{DEL}=30^{\circ},\widehat{DEA}=\widehat{DLE}=15^{\circ},\widehat{DAF}=90-\theta


Χρησιμοποιούμε το θεώρημα CEVA στο τρίγωνο LAE με κοινό σημείο τομής των ευθειών DE,DL,DA στο D

\frac{\eta \mu 15}{\eta \mu 30}\cdot \frac{\eta \mu 15}{\eta \mu 30}\cdot\frac{ \eta \mu(90- \theta )}{\eta \mu \theta }=1<=>\frac{\sigma \upsilon \nu \theta }{\eta \mu \theta }=\frac{\eta \mu ^{2}30}{\eta \mu ^{2}15}<=>\varepsilon \varphi \theta =4\eta \mu ^{2}15

\eta \mu 15=\eta \mu (45-30)=\eta \mu 45\cdot \sigma \upsilon \nu 30-\sigma \upsilon \nu 45\cdot \eta \mu 30=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4}

οπότε τώρα έχουμε \varepsilon \varphi \theta =4\eta \mu ^{2}15=2-\sqrt{3} επείσης \varepsilon \varphi 15=\varepsilon \varphi (45-30)=\frac{\varepsilon \varphi 45-\varepsilon \varphi 30}{1+\varepsilon \varphi 45\varepsilon \varphi 30}=2-\sqrt{3}

αφού \theta οξεία τότε \theta =15


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7202
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο-94.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Σεπ 14, 2018 10:52 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Πέμ Σεπ 13, 2018 9:13 pm
1.png


Καλησπέρα.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC του παραπάνω σχήματος είναι x+y=a+b.

Βρείτε το μέτρο της γωνίας \theta .
Κάτι παρόμοιο...
Τρίγωνο 94.png
Τρίγωνο 94.png (10.83 KiB) Προβλήθηκε 153 φορές
x+y=a+b. Αλλά y+b=2x και a=x\sqrt 3. Από τις σχέσεις αυτές με απαλοιφή των a,b βρίσκω, \displaystyle \frac{y}{x} = \frac{{\sqrt 3  + 1}}{2}

Ν. ημιτόνων στο ABD: \displaystyle \frac{y}{x} = \frac{{\sin (90 - \theta )}}{{\sin (30 + \theta )}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3  + 1}}{2} = \frac{{2\cos \theta }}{{\cos \theta  + \sqrt 3 \sin \theta }} \Leftrightarrow \tan \theta  = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{{3 + \sqrt 3 }} \Leftrightarrow

\displaystyle \tan \theta  = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}}}{{1 + \frac{{\sqrt 3 }}{3}}} = \tan ({45^0} - {30^0}) = \tan {15^0} και αφού είναι οξεία, \boxed{\theta=15^0}


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1319
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τρίγωνο-94.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Παρ Σεπ 14, 2018 5:30 pm

Παίρνουμε σημείο E πάνω στην AB, ώστε AC=AE. Παίρνουμε επίσης F πάνω στην BC ώστε BF=BE.

Είναι y-FD=BD-FD=BF=BE=AE-AB=a-x=y-b \Rightarrow FD=b. Άρα, FD=DC=b.

Είναι BF=y-b=a-x=BE \Rightarrow BF=BE \Rightarrow \angle BEF=30^\circ=\angle ACF.

Άρα, τα τρίγωνα \vartriangle AEF, \vartriangle ACF έχουν AF κοινή, AE=AC και \angle AEF=\angle ACF, άρα από το έμμεσο κριτήριο, είναι \angle AFE=\angle AFC ή \angle AFE=\pi-\angle AFC. Αν ισχύει το δεύτερο, τότε \angle EFC=\pi, άτοπο.

Άρα, \angle AFE=\angle AFC \Rightarrow \angle EAF=\angle FAC=45^\circ.

Φέρνουμε τώρα FK \perp AC. Είναι \angle KCF=30^\circ και \vartriangle KFC ορθογώνιο, άρα KF=\dfrac{FC}{2}=b.

Επίσης, \angle FAK=45^\circ, άρα \vartriangle FAK ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα KA=b, AF=b\sqrt{2}.

Είναι FA^2=2b^2=FD \cdot FC \Rightarrow η FA εφάπτεται στον κύκλο (D,A,C), άρα \angle FAD=\angle ACF=30^\circ \Rightarrow \theta=45^\circ-30^\circ=15^\circ \Rightarrow \boxed{\theta=15^\circ}.
FANIS-94.png
FANIS-94.png (31.72 KiB) Προβλήθηκε 132 φορές


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7202
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο-94.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Σεπ 14, 2018 6:38 pm

Άλλη μία. Από την προηγούμενη ανάρτησή μου είναι a=x\sqrt 3 και \displaystyle \frac{y}{x} = \frac{{\sqrt 3  + 1}}{2}
Τρίγωνο 94.β.png
Τρίγωνο 94.β.png (13.06 KiB) Προβλήθηκε 118 φορές
Φέρνω το ύψος AH. Είναι: \displaystyle HD = y - \frac{x}{2} = \frac{{x(\sqrt 3  + 1)}}{2} - \frac{x}{2} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} = AH \Leftrightarrow A\widehat DH = {45^0} \Leftrightarrow \boxed{\theta=15^0}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1466
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τρίγωνο-94.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Σεπ 14, 2018 10:23 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Πέμ Σεπ 13, 2018 9:13 pm
1.png


Καλησπέρα.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC του παραπάνω σχήματος είναι x+y=a+b.

Βρείτε το μέτρο της γωνίας \theta .

Έστω\displaystyle AF διχοτόμος της\displaystyle \angle A. Με \displaystyle BE \bot AF θα είναι, \displaystyle AE = x άρα \displaystyle EB = a - x και

\displaystyle \angle AEF = {60^0} οπότε \displaystyle \angle EFC = {30^0}

Έτσι, \displaystyle BF = FE = EC = a - x κι επειδή \displaystyle a - x = y - b θα έχουμε \displaystyle  
DF = DC = b άρα

\displaystyle ED \bot FC \Rightarrow AEDB εγγράψιμο

Επομένως \displaystyle \boxed{\theta  = \angle EBF = {{15}^0}}
t94.png
t94.png (12.88 KiB) Προβλήθηκε 99 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Τσουρακάκης σε Σάβ Σεπ 15, 2018 9:40 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 866
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Τρίγωνο-94.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Σεπ 15, 2018 12:57 am

Χαιρετώ όλη την παρέα με τις θαυμάσιες λύσεις !
Τρίγωνο-94.PNG
Τρίγωνο-94.PNG (7.58 KiB) Προβλήθηκε 75 φορές
Όπως βρέθηκε \dfrac{y}{x}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}. Θεωρώ το ισόπλευρο BAG . Αρκεί η AD να είναι διχοτόμος της \widehat{GAC}=30^{0}

άρα αρκεί \dfrac{DC}{DG}=\dfrac{AC}{AG} δηλ. \dfrac{2x-y}{y-x}=\sqrt{3}\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow \dfrac{y}{x}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2} που ισχύει. Συνεπώς \theta =15^{0}. Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης