Υπερμενέλαος
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2
Υπερμενέλαος
Πάνω στη μεσοκάθετο της διαμέτρου θεωρούμε τυχόν σημείο . Ονομάζουμε την τομή του τόξου με
την , την τομή του τόξου με την και την τομή των . Δείξτε ότι : .
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Υπερμενέλαος
Έστω το ίχνος του πάνω στην . Έστω το ορθόκεντρο του .
Ξέρουμε πως είναι πλήρες τετράπλευρο επομένως από γνωστό λήμμα ξέρουμε πως η τετράδα είναι αρμονική.
Αφού μέσο του έχουμε από τη σχέση πως , άρα , δηλαδή .
Άρα από Θεώρημα Θαλή στις παράλληλες και έχουμε πως , δηλαδή .
Ξέρουμε πως είναι πλήρες τετράπλευρο επομένως από γνωστό λήμμα ξέρουμε πως η τετράδα είναι αρμονική.
Αφού μέσο του έχουμε από τη σχέση πως , άρα , δηλαδή .
Άρα από Θεώρημα Θαλή στις παράλληλες και έχουμε πως , δηλαδή .
Houston, we have a problem!
Re: Υπερμενέλαος
Παρόμοια με το Διονύση .
Αν οι χορδές τέμνονται στο , προφανώς το σημείο αυτό είναι το ορθόκεντρο του και ας είναι το σημείο τομής των .
Στο ορθικό τρίγωνο το είναι έγκεντρο κι αφού η δέσμη :
είναι αρμονική και άρα και η δέσμη : είναι
αρμονική . Θέτω . Επειδή
.
Αν οι χορδές τέμνονται στο , προφανώς το σημείο αυτό είναι το ορθόκεντρο του και ας είναι το σημείο τομής των .
Στο ορθικό τρίγωνο το είναι έγκεντρο κι αφού η δέσμη :
είναι αρμονική και άρα και η δέσμη : είναι
αρμονική . Θέτω . Επειδή
.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες