Συμμετρικό και μέγιστο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9807
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Συμμετρικό και μέγιστο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Ιούλ 11, 2018 12:27 pm

Συμμετρικό και  μέγιστο  ύψος.png
Συμμετρικό και μέγιστο ύψος.png (13.44 KiB) Προβλήθηκε 209 φορές
Η AB είναι διάμετρος κύκλου (O,r) , το σημείο P κινείται στο "βόρειο" ημικύκλιο και

τα M,N είναι τα μέσα των AP,OP αντίστοιχα . Ονομάζουμε T την τομή της BN

με το κύκλο και S την τομή της TM μ' αυτόν .

α) Δείξτε ότι το S είναι το συμμετρικό του P ως προς την AB .

β) Βρείτε τη μέγιστη απόσταση του σημείου T από την AB .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1480
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Συμμετρικό και μέγιστο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Ιούλ 14, 2018 8:52 pm

Εύκολα δείχνουμε ότι τι τετράπλευρο TMNP είναι εγγράψιμο, και, στην συνέχεια, ότι \angle STB=\angle PAB, που δίνει το πρώτο ζητούμενο.

Το ζητούμενο μέγιστο συμβαίνει όταν γίνεται μέγιστη και η γωνία \angle OBN. Επειδή το N κινείται στον κύκλο \left ( O,\dfrac{R}{2} \right ) η γωνία \angle OBN γίνεται μέγιστη όταν η BN εφάπτεται σ' αυτόν το κύκλο. Τότε, όμως, είναι \angle OBN=30^o, οπότε το ζητούμενο μέγιστο είναι το μισό της πλευράς του εγγεγραμμένου ισοπλεύρου τριγώνου στον αρχικό κύκλο.


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 309
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Συμμετρικό και μέγιστο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τετ Ιούλ 18, 2018 3:33 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Ιούλ 11, 2018 12:27 pm
Συμμετρικό και μέγιστο ύψος.pngΗ AB είναι διάμετρος κύκλου (O,r) , το σημείο P κινείται στο "βόρειο" ημικύκλιο και

τα M,N είναι τα μέσα των AP,OP αντίστοιχα . Ονομάζουμε T την τομή της BN

με το κύκλο και S την τομή της TM μ' αυτόν .

α) Δείξτε ότι το S είναι το συμμετρικό του P ως προς την AB .

β) Βρείτε τη μέγιστη απόσταση του σημείου T από την AB .
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
Συμμετρικό και μέγιστο.png
Συμμετρικό και μέγιστο.png (230.14 KiB) Προβλήθηκε 82 φορές
α) Θεωρώντας τον μοναδιαίο κύκλο, έχουμε P(cosa , sina) και N\left ( \dfrac{cosa}{2},\dfrac{sina}{2} \right ) .
Η εξίσωση της ευθείας , η οποία διέρχεται από τα σημεία B,N είναι (\varepsilon ): y=\dfrac{sina}{cosa-2}(x-1).
Τώρα για να βρούμε τις συντεταγμένες του Τ, αντικαθιστούμε στην εξίσωση του κύκλου (C):x^2+y^2=1, την (\varepsilon ).
Έχουμε την δευτεροβάθμια \left [ 1+\dfrac{sin^2 a}{(cosa-2)^2} \right ]x^2-2\dfrac{sin^2 a}{(cosa-2)^2}x+\dfrac{sin^2 a}{(cosa-2)^2}-1=0 .
Από την παραπάνω προκύπτουν λύσεις: x_1=1 (τετμημένη του B) και x_2= \dfrac{sin^2 a -(cosa -2)^2}{sin^2 a +(cosa -2)^2} (τετμημένη του T) .
Αντικαθιστώντας τώρα στην (\varepsilon ) βρίσκουμε την τεταγμένη του T . Είναι y= \dfrac{2sina(2-cosa)}{sin^2 a +(cosa-2)^2} .
Ο συντελεστής διευθύνσεως της ευθείας (\eta), η οποία διέρχεται από τα σημεία T και M\left ( \dfrac{cosa-1}{2},\dfrac{sina}{2} \right ) , είναι: \lambda =-\dfrac{3sina}{1+cosa} .
Άρα (\eta ): y-\dfrac{sina}{2} = -\dfrac{3sina}{1+cosa}\left (x-\dfrac{cosa-1}{2} \right ).
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το σημείο, του κύκλου (C) ,(cosa , -sina) ανήκει και στην ευθεία \eta,
επειδή επαληθεύει την εξίσωσή της.
Συνεπώς το S(cosa , -sina) είναι το συμμετρικό του P ως προς την AB (xx').

β) Είναι d(T,xx')=\left |\dfrac{2sina(2-cosa)}{sin^2 a+(cosa-2)^2} \right |= \dfrac{2sina(2-cosa)}{sin^2 a+(cosa-2)^2} = \dfrac{4sina-sin2a}{5-4cosa}.

Θεωρώ την συνάρτηση f(x)= \dfrac{4sinx-sin2x}{5-4cosx} , παραγωγίσιμη με

f'(x)=\dfrac{2(4cos^3 x -10cos^2 x +10 cos^2 x -3)}{(5-4cos x)^2} = \dfrac{(2cosx -1) (4cos^2 x -8cos^2 x +6) }{(5-4cos x)^2} .
Από πίνακα μονοτονίας της f προκύπτει ότι η συνάρτηση παρουσιάζει στο \dfrac{\pi}{3} ολικό μέγιστο το f\left ( \dfrac{\pi }{3} \right )=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Το παραπάνω συμφωνεί με την προηγούμενη κομψότατη και υπέροχη λύση του rek2.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης