Τρίγωνο-82.

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1011
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Τρίγωνο-82.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Τρί Ιούλ 10, 2018 7:50 pm

1.png
1.png (8.65 KiB) Προβλήθηκε 163 φορές

Καλησπέρα.

Το τρίγωνο ABC του παραπάνω σχήματος είναι ισόπλευρο. Κατασκευάστε το σημείο D
και εν συνεχεία υπολογίστε το λόγο \dfrac{AD}{BD}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο-82.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιούλ 10, 2018 8:40 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Τρί Ιούλ 10, 2018 7:50 pm
1.png


Καλησπέρα.

Το τρίγωνο ABC του παραπάνω σχήματος είναι ισόπλευρο. Κατασκευάστε το σημείο D
και εν συνεχεία υπολογίστε το λόγο \dfrac{AD}{BD}.
Τρίγωνο-82.png
Τρίγωνο-82.png (12.15 KiB) Προβλήθηκε 146 φορές

\displaystyle \frac{{AD}}{{BD}} = 2

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τετ Ιούλ 11, 2018 8:00 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1464
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τρίγωνο-82.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Ιούλ 10, 2018 11:33 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Τρί Ιούλ 10, 2018 7:50 pm
1.png


Καλησπέρα.

Το τρίγωνο ABC του παραπάνω σχήματος είναι ισόπλευρο. Κατασκευάστε το σημείο D
και εν συνεχεία υπολογίστε το λόγο \dfrac{AD}{BD}.

Το \displaystyle D προσδιορίζεται ως η τομή του ημικυκλίου διαμέτρου \displaystyle AC με το τόξο που δέχεται γωνία \displaystyle {120^0}

Αν \displaystyle BD \cap \left( K \right) = E ,προφανώς \displaystyle \vartriangle ADE ισόπλευρο και με \displaystyle AM \bot DE \Rightarrow DM = ME

Με \displaystyle CS \bot AB \Rightarrow \angle ADS = {30^0} \Rightarrow SD \bot BE\displaystyle  \Rightarrow SD//AM \Rightarrow D μέσον της \displaystyle BM

Έτσι, \displaystyle AD = 2DM = 2BD \Rightarrow \boxed{\frac{{AD}}{{BD}} = 2}
T82.png
T82.png (19 KiB) Προβλήθηκε 125 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5957
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρίγωνο-82.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιούλ 11, 2018 12:04 am

Τρείγωνο 82_1.png
Τρείγωνο 82_1.png (55.94 KiB) Προβλήθηκε 118 φορές

Θεωρώ το ισόπλευρο τρίγωνο SAB. Ο περιγεγραμμένος του κύκλος τέμνει το

«δυτικό» ημικύκλιο διαμέτρου AC στα A,D.

Θεωρώ και το σημείο K ώστε το τρίγωνο KBD να είναι ισόπλευρο και τα K,\,\,D

Εκατέρωθεν της AB τα τρίγωνα KSB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DAB έχουν :

SB = AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KB = DB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _3}} = \widehat {{\theta _4}} γιατί \widehat {SBA} = \widehat {DBK} = 60^\circ οπότε θα είναι ίσα.

Θα έχουν έτσι KS = AD = 2R μα τότε, εύκολα έχω και τις ισότητες :

\left\{ \begin{gathered} 
  \vartriangle DBC = \vartriangle KBA \hfill \\ 
  \vartriangle DAC = \vartriangle KSA \hfill \\  
\end{gathered}  \right. , έτσι \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{DA}}{{DB}} = 2 \hfill \\ 
  \frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{2R}}{{R\sqrt 3 }} = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \hfill \\ 
  \frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{R\sqrt 3 }}{R} = \sqrt 3  \hfill \\  
\end{gathered}  \right.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1464
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τρίγωνο-82.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Ιούλ 11, 2018 12:38 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Τρί Ιούλ 10, 2018 7:50 pm
1.png


Καλησπέρα.

Το τρίγωνο ABC του παραπάνω σχήματος είναι ισόπλευρο. Κατασκευάστε το σημείο D
και εν συνεχεία υπολογίστε το λόγο \dfrac{AD}{BD}.
..κι αλλιώς..

Το \displaystyle D προσδιορίζεται ως η τομή του ημικυκλίου διαμέτρου \displaystyle AC με το τόξο που δέχεται γωνία \displaystyle {120^0}

Είναι , \displaystyle \angle ADS = {30^0} \Rightarrow SD \bot DB

Θεωρούμε σημείο \displaystyle T στην προέκταση της \displaystyle SD με \displaystyle DT = 2SD ,συνεπώς \displaystyle D είναι

κ.βάρους του \displaystyle \vartriangle ABT άρα \displaystyle BM = MT = DM

Αλλά \displaystyle \angle BDM = {60^0} άρα \displaystyle DM = BD οπότε \displaystyle \frac{{AD}}{{DM}} = 2 \Rightarrow \boxed{\frac{{AD}}{{BD}} = 2}
T82..png
T82..png (15.15 KiB) Προβλήθηκε 112 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης