Τρίγωνο-82.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (8.65 KiB) Προβλήθηκε 1140 φορές

Καλησπέρα.

Το τρίγωνο ABC

του παραπάνω σχήματος είναι ισόπλευρο. Κατασκευάστε το σημείο

και εν συνεχεία υπολογίστε το λόγο $\dfrac{AD}{BD}$ .

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 10, 2018 7:50 pm
1.png

Καλησπέρα.

Το τρίγωνο του παραπάνω σχήματος είναι ισόπλευρο. Κατασκευάστε το σημείο
και εν συνεχεία υπολογίστε το λόγο $\dfrac{AD}{BD}$ .

: Τρίγωνο-82.png (12.15 KiB) Προβλήθηκε 1123 φορές

$\displaystyle \frac{{AD}}{{BD}} = 2$

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 10, 2018 7:50 pm
1.png

Καλησπέρα.

Το τρίγωνο του παραπάνω σχήματος είναι ισόπλευρο. Κατασκευάστε το σημείο
και εν συνεχεία υπολογίστε το λόγο $\dfrac{AD}{BD}$ .

Το $\displaystyle D$ προσδιορίζεται ως η τομή του ημικυκλίου διαμέτρου $\displaystyle AC$ με το τόξο που δέχεται γωνία $\displaystyle {120^0}$

Αν $\displaystyle BD \cap \left( K \right) = E$ ,προφανώς $\displaystyle \vartriangle ADE$ ισόπλευρο και με $\displaystyle AM \bot DE \Rightarrow DM = ME$

Με $\displaystyle CS \bot AB \Rightarrow \angle ADS = {30^0} \Rightarrow SD \bot BE$ $\displaystyle \Rightarrow SD//AM \Rightarrow D$ μέσον της $\displaystyle BM$

Έτσι, $\displaystyle AD = 2DM = 2BD \Rightarrow \boxed{\frac{{AD}}{{BD}} = 2}$

: T82.png (19 KiB) Προβλήθηκε 1102 φορές

#4

: Τρείγωνο 82_1.png (55.94 KiB) Προβλήθηκε 1095 φορές

Θεωρώ το ισόπλευρο τρίγωνο SAB

. Ο περιγεγραμμένος του κύκλος τέμνει το

«δυτικό» ημικύκλιο διαμέτρου

στα

.

Θεωρώ και το σημείο

ώστε το τρίγωνο KBD

να είναι ισόπλευρο και τα $K,\,\,D$

Εκατέρωθεν της

τα τρίγωνα $KSB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DAB$ έχουν :

$SB = AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KB = DB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _3}} = \widehat {{\theta _4}}$ γιατί $\widehat {SBA} = \widehat {DBK} = 60^\circ$ οπότε θα είναι ίσα.

Θα έχουν έτσι KS = AD = 2R

μα τότε, εύκολα έχω και τις ισότητες :

$\left\{ \begin{gathered} \vartriangle DBC = \vartriangle KBA \hfill \\ \vartriangle DAC = \vartriangle KSA \hfill \\ \end{gathered} \right.$ , έτσι $\left\{ \begin{gathered} \frac{{DA}}{{DB}} = 2 \hfill \\ \frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{2R}}{{R\sqrt 3 }} = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \hfill \\ \frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{R\sqrt 3 }}{R} = \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 10, 2018 7:50 pm
1.png

Καλησπέρα.

Το τρίγωνο του παραπάνω σχήματος είναι ισόπλευρο. Κατασκευάστε το σημείο
και εν συνεχεία υπολογίστε το λόγο $\dfrac{AD}{BD}$ .

..κι αλλιώς..

Το $\displaystyle D$ προσδιορίζεται ως η τομή του ημικυκλίου διαμέτρου $\displaystyle AC$ με το τόξο που δέχεται γωνία $\displaystyle {120^0}$

Είναι , $\displaystyle \angle ADS = {30^0} \Rightarrow SD \bot DB$

Θεωρούμε σημείο $\displaystyle T$ στην προέκταση της $\displaystyle SD$ με $\displaystyle DT = 2SD$ ,συνεπώς $\displaystyle D$ είναι

κ.βάρους του $\displaystyle \vartriangle ABT$ άρα $\displaystyle BM = MT = DM$

Αλλά $\displaystyle \angle BDM = {60^0}$ άρα $\displaystyle DM = BD$ οπότε $\displaystyle \frac{{AD}}{{DM}} = 2 \Rightarrow \boxed{\frac{{AD}}{{BD}} = 2}$

: T82..png (15.15 KiB) Προβλήθηκε 1089 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλό βράδυ! Ας δούμε με ... κάποια καθυστέρηση, δύο ακόμη προσεγγίσεις

: Τρίγωνο 82 Φ.Θ.PNG (15.3 KiB) Προβλήθηκε 831 φορές

Ι) Ελαφρά παραλλαγή της β' λύσης του Μιχάλη, αριστερά στο σχήμα.

Όπως βρέθηκε είναι $SD \perp BD$ και $\widehat{ADS}=30^\circ$ με το

μέσον της

. Φέρω $SE \parallel BD$ .
Στο ορθ. τρίγωνο DES

είναι

, ενώ και

. Τότε

.

ΙΙ) Μεταφορά μέρους της λύσης του Νίκου από το σχετικό θέμα τούτο.

Το

ανήκει στον κύκλο διαμέτρου

, ο οποίος τέμνει την

στο μέσον της

.Από το εγγεγραμμένο CASD

παίρνουμε $\widehat{BDS}=\widehat{ACD}=\theta$ .
Τα ορθογώνια τρίγωνα DAC

και

είναι όμοια με AC=2BS

άρα και

.

Φιλικά, Γιώργος.

Τρίγωνο-82.

Τρίγωνο-82.

Re: Τρίγωνο-82.

Re: Τρίγωνο-82.

Re: Τρίγωνο-82.

Re: Τρίγωνο-82.

Re: Τρίγωνο-82.

Μέλη σε σύνδεση