Τόπος σύγκλισης

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12739
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τόπος σύγκλισης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιουν 03, 2018 1:16 pm

Τόπος  σύγκλισης.png
Τόπος σύγκλισης.png (12.13 KiB) Προβλήθηκε 575 φορές
Σημείο P κινείται στη διάμετρο AOB ενός ημικυκλίου . Υψώνω το κάθετο προς την AB ,

τμήμα PT και ονομάζω M το μέσο του . Δείξτε ότι η AM , η διχοτόμος της \widehat{TOB} και

η εφαπτομένη του τόξου στο T συντρέχουν σε σημείο S , του οποίου βρείτε τον γ. τόπο .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8093
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τόπος σύγκλισης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιουν 03, 2018 3:05 pm

Θεωρώ την εφαπτομένη στο T και ότι τέμνει την AB στο C , ενώ η διχοτόμος της

\widehat {BOT} ότι τέμνει τη TC στο S και θα δείξω ότι το σημείο τομής M των

AS\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TP είναι μέσο του TP

Επειδή \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}} ( κάθετες πλευρές) και \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} (Υπό χορδής κι εφαπτομένης)

Θα είναι και \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} επίσης δόθηκε \widehat {{a_4}} = \widehat {{a_5}}

( εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι και \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_4}} …)

Προφανώς η OS είναι μεσοκάθετος στο TB οπότε η SB εφάπτεται του ημικυκλίου.

Τόπος σύγκλισηs.png
Τόπος σύγκλισηs.png (25.34 KiB) Προβλήθηκε 555 φορές

Είναι γνωστό ότι η τετράδα (A,B\backslash P,C) είναι αρμονική.

Στο \vartriangle TPC από το Θ. Μενελάου με διατέμνουσα \overline {SMA} έχω :

\dfrac{{TM}}{{MP}} \cdot \dfrac{{PA}}{{AC}} \cdot \dfrac{{CS}}{{ST}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{TM}}{{MP}} \cdot \dfrac{{PA}}{{AC}} \cdot \dfrac{{CS}}{{ST}} = 1\,\,\,(1)

Αλλά : \dfrac{{AP}}{{AC}} = \dfrac{{BP}}{{BC}} = \dfrac{{TS}}{{SC}} από αρμονική αναλογία και θ διχοτόμων

Κ έτσι η (1) δίδει \boxed{TM = MP}.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10735
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τόπος σύγκλισης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιουν 03, 2018 5:49 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Ιουν 03, 2018 1:16 pm
Τόπος σύγκλισης.pngΣημείο P κινείται στη διάμετρο AOB ενός ημικυκλίου . Υψώνω το κάθετο προς την AB ,

τμήμα PT και ονομάζω M το μέσο του . Δείξτε ότι η AM , η διχοτόμος της \widehat{TOB} και

η εφαπτομένη του τόξου στο T συντρέχουν σε σημείο S , του οποίου βρείτε τον γ. τόπο .
Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο T τέμνει την εφαπτομένη Bx στο S. Προφανώς η OS διχοτομεί τη γωνία T\widehat OB.

θα δείξω ότι η AS διέρχεται από το μέσο M του TP.
Τόπος σύγκλισης.png
Τόπος σύγκλισης.png (15.96 KiB) Προβλήθηκε 533 φορές
Έστω K το σημείο τομής των AT, Bx. Το τρίγωνο BTK είναι ορθογώνιο και TS=SB. Άρα το S είναι μέσο της

υποτείνουσας BK. Αλλά, \displaystyle PT||BK \Leftrightarrow \frac{{TM}}{{MP}} = \frac{{KS}}{{SB}} = 1 \Leftrightarrow \boxed{TM=MP}


Αν N είναι το μέσο του ημικυκλίου, τότε το τυχαίο σημείο S του γεωμετρικού τόπου απέχει από την σταθερή κατά θέση ευθεία

ON, σταθερή απόσταση ίση με την ακτίνα R του ημικυκλίου. Οπότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ημιευθεία Bx.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8093
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τόπος σύγκλισης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιουν 04, 2018 10:37 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Ιουν 03, 2018 1:16 pm
Τόπος σύγκλισης.pngΣημείο P κινείται στη διάμετρο AOB ενός ημικυκλίου . Υψώνω το κάθετο προς την AB ,

τμήμα PT και ονομάζω M το μέσο του . Δείξτε ότι η AM , η διχοτόμος της \widehat{TOB} και

η εφαπτομένη του τόξου στο T συντρέχουν σε σημείο S , του οποίου βρείτε τον γ. τόπο .
Θεωρώ την εφαπτομένη στο T και ότι τέμνει την AB στο C , ενώ η διχοτόμος της

\widehat {BOT} ότι τέμνει τη TC στο S και θα δείξω ότι το σημείο τομής M των

AS\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TP είναι μέσο του TP.

Επειδή στο ισοσκελές τρίγωνο OTBη διχοτόμος είναι και μεσοκάθετη στη βάση , το

SB είναι εφαπτόμενο τμήμα και άρα SB//TP, δηλαδή η BS σταθερή ημιευθεία .

Τόπος σύγκλισης_new.png
Τόπος σύγκλισης_new.png (23.43 KiB) Προβλήθηκε 493 φορές
Η τετράδα : (A,B\backslash P,C) είναι αρμονική , συνεπώς η δέσμη S(A,B,P,C)

είναι αρμονική και αφού η ευθεία TP είναι παράλληλη στην ακτίνα SB και

τέμνει τις SA,SP,SC στα σημεία M,P,T το ένα απ’ αυτά θα είναι μέσο του

τμήματος των δύο άλλων , δηλαδή το M είναι μέσο του TP.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης