Επαφές και πολυ-μέσα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9710
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Επαφές και πολυ-μέσα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Απρ 14, 2018 11:36 am

Επαφές  και  μέσα.png
Επαφές και μέσα.png (13.81 KiB) Προβλήθηκε 152 φορές
Από σημείο S της προέκτασης της ακτίνας OA , κύκλου (O,r) , φέρουμε τα εφαπτόμενα

τμήματα ST,SP . Έστω Q τυχαίο σημείο του "πάνω μέρους" του TP . Η κάθετη της

OQ στο Q , τέμνει την SP στο M και την προέκταση της ST στο N .

Α) Δείξτε ότι το Q είναι το μέσο του MN .

Β) Βρείτε εκείνη τη θέση του Q , για την οποία το M είναι μέσο του SP .

Γ) Βρείτε συνθήκη τέτοια , ώστε το τμήμα MN να διέρχεται από το A .



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1372
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Επαφές και πολυ-μέσα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Απρ 14, 2018 8:26 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Απρ 14, 2018 11:36 am
Επαφές και μέσα.pngΑπό σημείο S της προέκτασης της ακτίνας OA , κύκλου (O,r) , φέρουμε τα εφαπτόμενα

τμήματα ST,SP . Έστω Q τυχαίο σημείο του "πάνω μέρους" του TP . Η κάθετη της

OQ στο Q , τέμνει την SP στο M και την προέκταση της ST στο N .

Α) Δείξτε ότι το Q είναι το μέσο του MN .

Β) Βρείτε εκείνη τη θέση του Q , για την οποία το M είναι μέσο του SP .

Γ) Βρείτε συνθήκη τέτοια , ώστε το τμήμα MN να διέρχεται από το A .


1.Λόγω των εγγράψιμων \displaystyle OQMT,OQPN οι πράσινες γωνίες είναι ίσες άρα \displaystyle ON = OM συνεπώς

το ύψος \displaystyle OQ είναι και διάμεσος ,άρα \displaystyle \boxed{NQ = QM}

2.Τα ορθογώνια τρίγωνα \displaystyle PON,OTM προφανώς είναι ίσα ,άρα \displaystyle NP = TM = MS και\displaystyle NS = 3NP

Με Μενέλαο στο \displaystyle \vartriangle PTS και διατέμνουσα\displaystyle MQN \Rightarrow \frac{{PQ}}{{QT}} \cdot \frac{{MT}}{{MS}} \cdot \frac{{NS}}{{NP}} = 1 \Rightarrow \frac{{PQ}}{{QT}} \cdot 1 \cdot 3 = 1 \Rightarrow \boxed{PQ = \frac{{PT}}{4}}

3.Όταν η \displaystyle MN περνά από το \displaystyle A κι επειδή \displaystyle \angle {P_1} = \angle {M_1} = \angle {S_1} \Rightarrow NOMS

εγγράψιμο άρα \displaystyle r \cdot x = NA \cdot AM = NB \cdot NA = N{P^2} = T{M^2} \Rightarrow \boxed{TM = NP = \sqrt {rx} }

(προφανώς είναι \displaystyle NB = AM)
e.k.p.png
e.k.p.png (26.19 KiB) Προβλήθηκε 115 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6754
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επαφές και πολυ-μέσα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Απρ 15, 2018 1:09 pm

Αλλιώς για το (Β)
Επαφές και πολυ-μέσα.png
Επαφές και πολυ-μέσα.png (14.21 KiB) Προβλήθηκε 80 φορές
\displaystyle ME||TN κι επειδή Q είναι μέσο του MN θα είναι και μέσο του TE. Άρα, \boxed{TQ=\frac{TP}{4}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης