Επαφές και πολυ-μέσα

KARKAR · #1

: Επαφές και μέσα.png (13.81 KiB) Προβλήθηκε 812 φορές

Από σημείο

της προέκτασης της ακτίνας

, κύκλου

, φέρουμε τα εφαπτόμενα

τμήματα ST,SP

. Έστω

τυχαίο σημείο του "πάνω μέρους" του

. Η κάθετη της

στο

, τέμνει την

στο

και την προέκταση της

στο

.

Α) Δείξτε ότι το

είναι το μέσο του

.

Β) Βρείτε εκείνη τη θέση του

, για την οποία το

είναι μέσο του

.

Γ) Βρείτε συνθήκη τέτοια , ώστε το τμήμα

να διέρχεται από το

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 14, 2018 11:36 am
Επαφές και μέσα.pngΑπό σημείο της προέκτασης της ακτίνας , κύκλου , φέρουμε τα εφαπτόμενα

τμήματα . Έστω τυχαίο σημείο του "πάνω μέρους" του . Η κάθετη της

στο , τέμνει την στο και την προέκταση της στο .

Α) Δείξτε ότι το είναι το μέσο του .

Β) Βρείτε εκείνη τη θέση του , για την οποία το είναι μέσο του .

Γ) Βρείτε συνθήκη τέτοια , ώστε το τμήμα να διέρχεται από το .

1.Λόγω των εγγράψιμων $\displaystyle OQMT,OQPN$ οι πράσινες γωνίες είναι ίσες άρα $\displaystyle ON = OM$ συνεπώς

το ύψος $\displaystyle OQ$ είναι και διάμεσος ,άρα $\displaystyle \boxed{NQ = QM}$

2.Τα ορθογώνια τρίγωνα $\displaystyle PON,OTM$ προφανώς είναι ίσα ,άρα $\displaystyle NP = TM = MS$ και $\displaystyle NS = 3NP$

Με Μενέλαο στο $\displaystyle \vartriangle PTS$ και διατέμνουσα $\displaystyle MQN \Rightarrow \frac{{PQ}}{{QT}} \cdot \frac{{MT}}{{MS}} \cdot \frac{{NS}}{{NP}} = 1 \Rightarrow \frac{{PQ}}{{QT}} \cdot 1 \cdot 3 = 1 \Rightarrow \boxed{PQ = \frac{{PT}}{4}}$

3.Όταν η $\displaystyle MN$ περνά από το $\displaystyle A$ κι επειδή $\displaystyle \angle {P_1} = \angle {M_1} = \angle {S_1} \Rightarrow NOMS$

εγγράψιμο άρα $\displaystyle r \cdot x = NA \cdot AM = NB \cdot NA = N{P^2} = T{M^2} \Rightarrow \boxed{TM = NP = \sqrt {rx} }$

(προφανώς είναι $\displaystyle NB = AM$ )

: e.k.p.png (26.19 KiB) Προβλήθηκε 775 φορές

#3

Αλλιώς για το (Β)

: Επαφές και πολυ-μέσα.png (14.21 KiB) Προβλήθηκε 740 φορές

$\displaystyle ME||TN$ κι επειδή

είναι μέσο του

θα είναι και μέσο του TE.

Άρα, $\boxed{TQ=\frac{TP}{4}}$

Επαφές και πολυ-μέσα

Επαφές και πολυ-μέσα

Re: Επαφές και πολυ-μέσα

Re: Επαφές και πολυ-μέσα

Μέλη σε σύνδεση