Ίσα τμήματα χορδών

[george visvikis]

Ίσα τμήματα χορδών.png (24.19 KiB) Προβλήθηκε 1746 φορές

Τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου και οι διαγώνιοί του τέμνονται στο Γράφω τους

περίκυκλους των τριγώνων αντίστοιχα. Τυχαία ευθεία που διέρχεται από το τέμνει τους

κύκλους στα σημεία και τον στα Να δείξετε ότι

[KARKAR]

Αναδιατύπωση.png (22.03 KiB) Προβλήθηκε 1722 φορές

Άλλη διατύπωση ( χωρίς -ακόμη- την άδεια του θεματοδότη ! ) : Οι χορδές

ενός κύκλου τέμνονται στο εσωτερικό του σημείο . Γράφω τους κύκλους

και και από τυχόν σημείο του ενός απ' αυτούς ,

φέρω ευθεία διερχόμενη από το , η οποία τέμνει τον άλλο στο σημείο .
Δείξτε ότι : ( Άλλη διατύπωση δεν σημαίνει οπωσδήποτε καλύτερη ) )

[min##]

Εχει σχέση με αυτό: viewtopic.php?f=178&t=61221&p=296476#p296476

[george visvikis]

Εχει σχέση με αυτό: viewtopic.php?f=178&t=61221&p=296476#p296476

Δεν νομίζω ότι υπάρχει σχέση ανάμεσα στις δύο ασκήσεις.

[min##]

Όντως άμεσα δεν φαίνεται .Αλλά, και τα δύο είναι άμεσες εφαρμογές κάτι γενικότερου.Λόγω υποχρεώσεων,θα εξηγηθώ άλλη στιγμή.

[giannimani]

exerb.png (84.04 KiB) Προβλήθηκε 1563 φορές

Έστω ότι η τέμνει για δεύτερη φορά τον κύκλο στο σημείο . Τότε, για την περίπτωση του σχήματος είναι
(εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο)
Επομένως, , οπότε το τραπέζιο ως εγγεγραμμένο θα είναι ισοσκελές, δηλαδή, .
Επίσης, για τον ίδιο λόγο όπως και οι προηγούμενες γωνίες.
Επομένως, το τραπέζιο είναι ισοσκελές, οπότε . Τώρα, εύκολα προκύπτει ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα, και ως εκ τούτου .

Για διαφορετική θέση της ευθείας που διέρχεται από το , ο τρόπος απόδειξης δεν αλλάζει.

[min##]

Και τα 2 λύνονται με τη χρήση του Desargues involution theorem το οποίο από ότι βλέπω δεν πολυυπάρχει στο mathematica. Τη χρησιμότητά του την έχουν βρει βέβαια στο aops.Στο συνημμένο που ανέβασα τις προάλλες είναι ουσιαστικά άμεσο το πρώτο ζητούμενο από το παραπάνω θεώρημα:Στο εκφυλισμένο με τέμνουσα την  έπεται ότι τα και οι τομές της με τον κύκλο είναι σε involution.Όμως ο παραπάνω μετασχηματισμός (projectivity) λόγω του f(X')=f(X) καθορίζεται από 2 ζεύγη σημείων.Η συμμετρία ως προς το μέσο της είναι μετασχηματισμός που διατηρεί τους διπλούς λόγους και με εφαρμογή 2 φορές επιστρέφει σημείο στον εαυτό του-είναι ο μοναδικό που ψάχνουμε-τα  είναι και αυτά συμμετρικά προς το μέσο του και το ζητούμενο δείχτηκε.Για το 2ο ερώτημα,με το ίδιο επιχείρημα για το και την ,το και την το ζητούμενο προκύπτει άμεσα.Για την παραπάνω άσκηση, με αντιστροφή αρνητικής δύναμης και τις τομές των , αρκεί το οποίο ισχύει από το παραπάνω θεώρημα(για ) διότι και λοιπά... Πληροφορίες εδώ:
https://www.google.gr/url?sa=t&source=w ... BS1VOwzYU0 ,http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGal ... ution.html

[rek2]

..... Στο συνημμένο που ανέβασα τις προάλλες ....

ποιο είναι αυτό;

[min##]

Αυτό εδώ viewtopic.php?f=178&t=61221&p=296476#p296476

[rek2]

Αυτό εδώ viewtopic.php?f=178&t=61221&p=296476#p296476

ok! Σε ευχαριστώ!