Ημικύκλιο και διχοτόμηση

#1

Δίνεται τρίγωνο ABC

με $A=90^{\circ}$ .
Κατασκευάζουμε ημικύκλιο με διάμετρο

και έστω

το μέσον του. Να αποδειχθεί ότι η

διχοτομεί την διχοτόμο

.

#2

Ευκολάκι

: Siluan_7_6_17.png (34.5 KiB) Προβλήθηκε 1259 φορές

Είναι $\left\{ \begin{gathered} \frac{{OE}}{{EN}} = \frac{{2OE}}{{2EN}} = \frac{c}{b} \hfill \\ \frac{{BM}}{{MN}} = \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{c}{b} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow ME//BC$

#3

silouan έγραψε:Δίνεται τρίγωνο με $A=90^{\circ}$ .
Κατασκευάζουμε ημικύκλιο με διάμετρο και έστω το μέσον του. Να αποδειχθεί ότι η διχοτομεί την διχοτόμο .

: Ημικύκλιο και διχοτόμηση.png (21.69 KiB) Προβλήθηκε 1255 φορές

Έστω

το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου.

Προφανώς

Είναι, $\displaystyle{\frac{{NM}}{{NB}} = \frac{{AM}}{{PB}},\frac{{BM}}{{NB}} = \frac{{MD}}{{NC}}}$

και με διαίρεση κατά μέλη: $\displaystyle{\frac{{NM}}{{MB}} = \frac{{AM \cdot NC}}{{MD \cdot PB}} \Leftrightarrow \frac{{AN}}{{AP}} = \frac{{AM \cdot AN}}{{MD \cdot AP}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{AM=MD}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Εστω

το σημείο τομής των BN,AC

και

το σημείο τομής των BN,AD

.

Παίρνουμε Μενέλαο στο ADC

με διατέμνουσα την

.

Είναι $\frac{BD}{BC}.\frac{KA}{KD}.\frac{EC}{AE}=1$ (1)

Από Θ.Διχοτόμου είναι $\frac{BD}{BC}=\frac{c}{b+c}$

Από την ομοιότητα των BAE

και

παίρνουμε $\frac{AE}{ET}=\frac{2c}{b}$

Κάνοντας πράξεις καταλήγουμε στο $\frac{EC}{AE}=\frac{b+c}{c}$

Αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε KA=KD

Ορέστης Λιγνός · #5

Καλημέρα σε όλους.

Έστω $M \equiv AD \cap BN$ , και $K \equiv BA \cap CN$ .

Προφανώς, NA=NC

.

Το $\vartriangle KAC$ είναι ορθογώνιο, και

σημείο στην υποτείνουσα

ώστε

.

Έπεται ότι NK=NA=NC

.

Επίσης, $\widehat{DAC}=\widehat{ACK}=45^\circ$ , οπότε $AD \parallel KC$ .

Συνεπώς, $AD \parallel KC$ , και αφού KN=NC

, έπεται ότι (γνωστό λήμμα) AM=MD

.

: SILOUAN.png (20.98 KiB) Προβλήθηκε 1240 φορές

Ημικύκλιο και διχοτόμηση

Ημικύκλιο και διχοτόμηση

Re: Ημικύκλιο και διχοτόμηση

Re: Ημικύκλιο και διχοτόμηση

Re: Ημικύκλιο και διχοτόμηση

Re: Ημικύκλιο και διχοτόμηση

Μέλη σε σύνδεση