Ισόπλευρο τρίγωνο 10.

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1158
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Ισόπλευρο τρίγωνο 10.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Τρί Ιουν 06, 2017 8:16 pm

500.png
500.png (12.26 KiB) Προβλήθηκε 947 φορές
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο AB\Gamma , τυχαίο σημείο \Delta της πλευράς του B\Gamma και
η διχοτόμος AE της γωνίας \angle \Gamma A\Delta (E σημείο της B\Gamma ). Ο περίκυκλος του
τριγώνου AB\Delta τέμνει την AE στο Z και η \Delta Z τέμνει την A\Gamma στο H.
Δείξτε ότι ZE=ZH.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5382
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 10.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Ιουν 06, 2017 8:55 pm

Θα κάνω άρση της απόκρυψης μετά από την επόμενη λύση.
Η \Delta H είναι διχοτόμος και το ZH\Gamma E είναι εγγράψιμμο, άρα ZH=ZE, αφού η \Gamma Z καθίσταται διχοτόμος

edit: Άρση της απόκρυψης
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Τρί Ιουν 06, 2017 9:00 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3990
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 10.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Ιουν 06, 2017 8:57 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:500.png

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο AB\Gamma , τυχαίο σημείο \Delta της πλευράς του B\Gamma και η διχοτόμος AE της γωνίας \angle \Gamma A\Delta (E σημείο της B\Gamma ). Ο περίκυκλος του τριγώνου AB\Delta τέμνει την AE στο Z και η \Delta Z τέμνει την A\Gamma στο H. Δείξτε ότι ZE=ZH.
1.png
1.png (46.32 KiB) Προβλήθηκε 934 φορές
Είναι \angle ZBD\mathop  = \limits^{A,Z,D,B\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle DAZ\mathop  = \limits^{\upsilon \pi o\theta \varepsilon \sigma \eta } \angle ZAC\mathop  \Rightarrow \limits^{BC = AC} \vartriangle BZC = \vartriangle AZC \Rightarrow \boxed{\angle ZCE \equiv \angle ZCB = \angle ZCA \equiv \angle ZCH}:\left( 1 \right)

Αλλά \angle EZD\mathop  = \limits^{A,Z,D,B\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle ABD = {60^0} = \angle ECH \Rightarrow C,H,Z,E ομοκυκλικά και από την \left( 1 \right)\Rightarrow ZE=ZH (χορδές κύκλου ανιστοιχούσες σε ίσες εγγεγραμμένες του γωνίες) και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης

Υ.Σ. Είναι σίγουρο ότι γράφω τα του Σωτήρη :). Καλησπέρα Σωτήρη!!


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5382
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 10.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Ιουν 06, 2017 9:02 pm

Γειά σου φίλε Στάθη.
Το θεώρημα σου έχει πράγματι τεράστιες εφαρμογές και για αυτό θα επιβληθεί επιστημονικά κόντρα στις .... ασήμαντες κόντρες.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 10.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιουν 06, 2017 10:39 pm

Ισόπλευρο 10 Φάνης.png
Ισόπλευρο 10 Φάνης.png (32.2 KiB) Προβλήθηκε 896 φορές
Επειδή προφανώς \widehat \phi  = \widehat \omega  + \widehat \theta  \Leftrightarrow ZA = ZB και αφού CA = CB η ZC είναι

μεσοκάθετος στο AB και το ζητούμενο φανερό .


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1158
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 10.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Τρί Ιουν 06, 2017 10:49 pm

500.png
500.png (17.03 KiB) Προβλήθηκε 895 φορές
Φέρνω την BZ και ονομάζω P το σημείο τομής της με την A\Gamma .
Είναι \angle ZB\Delta =\theta \Rightarrow \angle ABZ=60^{0}-\theta .
Αλλά και \angle ZAB=60^{0}-\theta .
Οπότε ZB=ZA (1).
Από την προφανή ισότητα των τριγώνων PB\Gamma , \Gamma AE έχω ότι
BP=AE\Rightarrow ZP=ZE (2) (λόγω της (1)).
Ακόμη είναι \angle EZ\Delta =60^{0} (ως εξωτερική του B\Delta ZA)\Rightarrow \angle AZH=60^{0},
\angle \Gamma PZ=120^{0}-\theta (ως εξωτερική του τριγώνου ABP)\Rightarrow \angle ZPH=60^{0}+\theta (3),
\angle PHZ=60^{0}+\theta (4) (ως εξωτερική του τριγώνου AZH).
Από την (3) και (4) έπεται ότι ZP=ZH\Rightarrow ZE=ZH (λόγω της (2)).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης