Λόγος εμβαδών

#1

: Λόγος εμβαδών.png (40.83 KiB) Προβλήθηκε 1574 φορές

Έστω κυρτό τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left( O \right)$ (κέντρου ) και $E\equiv AB\cap DC\,\,\And \,\,F\equiv BC\cap AD$ .
Αν $K\equiv AC\cap BD$ να δειχθεί ότι: $\boxed{\frac{{\left| {K{C^2} - K{B^2}} \right|}}{{\left| {K{C^2} - K{D^2}} \right|}} = \frac{{\left( {EBC} \right)}}{{\left( {FDC} \right)}}}$ και $\boxed{\frac{{\left| {K{A^2} - K{B^2}} \right|}}{{\left| {K{A^2} - K{D^2}} \right|}} = \frac{{\left( {FAB} \right)}}{{\left( {EAD} \right)}}}$ με $KC \ne KD \ne KA$ .

Στάθης

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 30, 2017 12:12 am
Λόγος εμβαδών.png
Έστω κυρτό τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left( O \right)$ (κέντρου ) και $E\equiv AB\cap DC\,\,\And \,\,F\equiv BC\cap AD$ .
Αν $K\equiv AC\cap BD$ να δειχθεί ότι: $\boxed{\frac{{\left| {K{C^2} - K{B^2}} \right|}}{{\left| {K{C^2} - K{D^2}} \right|}} = \frac{{\left( {EBC} \right)}}{{\left( {FDC} \right)}}}$ και $\boxed{\frac{{\left| {K{A^2} - K{B^2}} \right|}}{{\left| {K{A^2} - K{D^2}} \right|}} = \frac{{\left( {FAB} \right)}}{{\left( {EAD} \right)}}}$ με $KC \ne KD \ne KA$ .

Στάθης

Καλημέρα!

Έστω L,N

οι προβολές των K,O

στην

και

οι προβολές των K,O

στην

.Θα είναι

μέσα των

αντίστοιχα
Από το δεύτερο θεώρημα διαμέσων έχουμε $\left\{\begin{matrix} & \left |KC^2-KD^2 \right |=2 DC\cdot LN & \\ & \left | KC^2-KB^2 \right |=2BC\cdot GN & \end{matrix}\right.\Rightarrow \dfrac{\left | KC^2-KB^2 \right |}{\left |KC^2-KD^2 \right |}=\dfrac{2BC\cdot GN}{2 DC\cdot LN}\,\,\,\,(1)$

Τώρα θεωρούμε $M\equiv OK\cap EF$
Από γνωστό λήμμα για εγγεγραμμένο τετράπλευρο είναι $OM\perp EF$ (

σημείο

του τετραπλεύρου)

Έτσι μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα ''Στάθη Κούτρα'' και έχουμε $\dfrac{LN}{GZ}=\dfrac{CF}{EC}$

Αντικαθιστάμε στην (1)

και έχουμε $\dfrac{\left | KC^2-KB^2 \right |}{\left |KC^2-KD^2 \right |}=\dfrac{BC\cdot CE}{DC\cdot CF}=\dfrac{\left ( EBC \right )}{\left ( FDC \right )}$

Για το δεύτερο σκέλος ακολουθούμε την ίδια διαδικασία φέροντας τις προβολές όπως στο σχήμα .

: 91.PNG (82.85 KiB) Προβλήθηκε 999 φορές

Λόγος εμβαδών

Λόγος εμβαδών

Re: Λόγος εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση