Ισότητα από παραλληλία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Ισότητα από παραλληλία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Μαρ 29, 2017 11:51 pm

Ισότητα από παραλληλία.png
Ισότητα από παραλληλία.png (53.45 KiB) Προβλήθηκε 774 φορές
Έστω κυρτό τετράπλευρο ABCD εγγεγραμμένο σε κύκλο \left( O \right) (κέντρου O ) και E\equiv AB\cap DC\,\,\And \,\,F\equiv BC\cap AD . Αν N,Q,M,P είναι τα σημεία τομής της εκ του K\equiv AC\cap BD παραλλήλου προς την EF με τις ευθείες AB,BC,CD,DA αντίστοιχα, να δειχθεί ότι QN=PM

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
Friedoon
Δημοσιεύσεις: 61
Εγγραφή: Δευ Οκτ 24, 2016 6:39 pm
Τοποθεσία: Γλυφάδα

Re: Ισότητα από παραλληλία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Friedoon » Πέμ Μαρ 30, 2017 1:00 am

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Ισότητα από παραλληλία.pngΈστω κυρτό τετράπλευρο ABCD εγγεγραμμένο σε κύκλο \left( O \right) (κέντρου O ) και E\equiv AB\cap DC\,\,\And \,\,F\equiv BC\cap AD . Αν N,Q,M,P είναι τα σημεία τομής της εκ του K\equiv AC\cap BD παραλλήλου προς την EF με τις ευθείες AB,BC,CD,DA αντίστοιχα, να δειχθεί ότι QN=PM

Στάθης
Έστω S,T τα σημεία τομής της MN με τον κύκλο.
Η EF είναι πολική του K άρα OK\perp EF \Rightarrow OK\perp ST \Rightarrow KS=KT.
Από το θεώρημα της πεταλούδας όμως παίρνουμε QK=PK(1)
Τώρα θα αποδείξουμε πως K είναι το μέσο του MN.
Έστω πως K_{\infty} \equiv EF\cap MN και R\equiv EK\cap BC
. Είναι γνωστό πως -1=(B,C;R,F)\stackrel{Q}{=}(M,N;K,K_{\infty}) \Rightarrow MK=KN(2) (η δεύτερη αρμονική τετράδα προκύπτει από το μολύβι με κορυφή το E)
Άρα (1)+(2)\Rightarrow QN=PM
τελευταία επεξεργασία από Friedoon σε Πέμ Μαρ 30, 2017 2:05 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ανδρέας Χαραλαμπόπουλος
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ισότητα από παραλληλία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Μαρ 30, 2017 1:04 am

Friedoon έγραψε:
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Ισότητα από παραλληλία.pngΈστω κυρτό τετράπλευρο ABCD εγγεγραμμένο σε κύκλο \left( O \right) (κέντρου O ) και E\equiv AB\cap DC\,\,\And \,\,F\equiv BC\cap AD . Αν N,Q,M,P είναι τα σημεία τομής της εκ του K\equiv AC\cap BD παραλλήλου προς την EF με τις ευθείες AB,BC,CD,DA αντίστοιχα, να δειχθεί ότι QN=PM

Στάθης
Έστω S,T τα σημεία τομής της MN με τον κύκλο.
Η EF είναι πολική του K άρα OK\perp EF \Rightarrow OK\perp ST \Rightarrow KS=KT.
Από το θεώρημα της πεταλούδας όμως παίρνουμε QK=PK(1)
Τώρα θα αποδείξουμε πως K είναι το μέσο του MN.
Έστω πως K_{\infty} \equiv EF\cap MN και R\equiv EK\cap BC
. Είναι γνωστό πως -1=(B,C;R,F)\stackrel{Q}{=}(M,N;K,K_{\infty}) \Rightarrow MK=KN(2) (η δεύτερη αρμονική τετράδα προκύπτει από το μολύβι με κορυφή το Q)
Άρα (1)+(2)\Rightarrow QN=PM
:coolspeak:


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ισότητα από παραλληλία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Μαρ 30, 2017 1:16 am

Friedoon έγραψε:
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Ισότητα από παραλληλία.pngΈστω κυρτό τετράπλευρο ABCD εγγεγραμμένο σε κύκλο \left( O \right) (κέντρου O ) και E\equiv AB\cap DC\,\,\And \,\,F\equiv BC\cap AD . Αν N,Q,M,P είναι τα σημεία τομής της εκ του K\equiv AC\cap BD παραλλήλου προς την EF με τις ευθείες AB,BC,CD,DA αντίστοιχα, να δειχθεί ότι QN=PM

Στάθης
Έστω S,T τα σημεία τομής της MN με τον κύκλο.
Η EF είναι πολική του K άρα OK\perp EF \Rightarrow OK\perp ST \Rightarrow KS=KT.
Από το θεώρημα της πεταλούδας όμως παίρνουμε QK=PK(1)
Τώρα θα αποδείξουμε πως K είναι το μέσο του MN.
Έστω πως K_{\infty} \equiv EF\cap MN και R\equiv EK\cap BC
. Είναι γνωστό πως -1=(B,C;R,F)\stackrel{Q}{=}(M,N;K,K_{\infty}) \Rightarrow MK=KN(2) (η δεύτερη αρμονική τετράδα προκύπτει από το μολύβι με κορυφή το Q)
Άρα (1)+(2)\Rightarrow QN=PM
Να πω μόνο ότι η σχέση KM=KN είναι επίσης μια παραλλαγή του Θεωρήματος της «Πεταλούδας» και προφανώς υπάρχει και στοιχειώδης απόδειξη με «σχολικά εργαλεία»

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Κώστας Παππέλης
Δημοσιεύσεις: 261
Εγγραφή: Παρ Ιούλ 24, 2009 4:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ισότητα από παραλληλία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κώστας Παππέλης » Πέμ Μαρ 30, 2017 8:52 am

Με αφορμή το τελευταίο σχόλιο του κυρίου Στάθη Κούτρα να προσθέσω πως το συμπέρασμα πράγματι είναι ακριβώς το θεώρημα της Πεταλούδας 'ξεδιπλωμένο'. Είναι απολύτως λογικό να ισχύει και για τις τομές της χορδής με τις άλλες δύο πλευρές του εγγραψίμου λόγω απλής εναλλαγής γραμμάτων. Ένα άλλο θεώρημα που ξεφεύγει οπτικά με απλή εναλλαγή γραμμάτων αλλά εξακολουθεί να ισχύει είναι πχ η ευθεία Newton Gauss. Δοκιμάστε το!


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ισότητα από παραλληλία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Μαρ 30, 2017 11:12 am

Κώστας Παππέλης έγραψε:Με αφορμή το τελευταίο σχόλιο του κυρίου Στάθη Κούτρα να προσθέσω πως το συμπέρασμα πράγματι είναι ακριβώς το θεώρημα της Πεταλούδας 'ξεδιπλωμένο'. Είναι απολύτως λογικό να ισχύει και για τις τομές της χορδής με τις άλλες δύο πλευρές του εγγραψίμου λόγω απλής εναλλαγής γραμμάτων. Ένα άλλο θεώρημα που ξεφεύγει οπτικά με απλή εναλλαγή γραμμάτων αλλά εξακολουθεί να ισχύει είναι πχ η ευθεία Newton Gauss. Δοκιμάστε το!
Κώστα, να πω ότι μια φρέσκια απόδειξη (από τις πολλές που υπάρχουν) του Θεωρήματος της Πεταλούδας (που προφανώς εφαρμόζεται και στην απόδειξη του "ξεδιπλωμένου" Θεωρήματος (όπως το αναφέρεις)) βρίσκεται εδώ

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης